Erwartungswert Skatspiel

Question

Aufgabe:

Berechne den Erwartungswert der Bubenanzahl, die ein einzelner Skatspieler in die Hand bekommt (10 von 32 Karten)

Problem/Ansatz:

Hat jemand einen Lösungsweg? Ich weiß leider gar keinen Ansatz! Vielen Dank!

Answer 1

Hallo Jesco,

X = Anzahl der erhaltenen Buben

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler genau k Buben erhält, beträgt

\(P(X=k) = \dfrac{\begin{pmatrix} 4 \\ k \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\ 10-k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 32 \\ 10\end{pmatrix}}\)

Erwartungswert der Bubenanzahl, die ein einzelner Skatspieler in die Hand bekommt:

\(E(X)=\sum\limits_{i=1}^{n} x_i·P(X=x_i)\)   mit  x_i ∈ {0, 1, 2, 3, 4}  

\(E(X) = \frac{0·\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\ 10\end{pmatrix} + 1·\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\ 9\end{pmatrix}+2·\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\8\end{pmatrix} + 3·\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\7\end{pmatrix} +4·\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 32 \\ 10\end{pmatrix}}\)

\(=\dfrac{1}{\begin{pmatrix} 32 \\ 10 \end{pmatrix}}·\left( 4·\begin{pmatrix} 28 \\ 9\end{pmatrix}+2·\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\8\end{pmatrix} + 3·\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}·\begin{pmatrix} 28 \\7\end{pmatrix} +4·\begin{pmatrix} 28 \\6\end{pmatrix} \right)\)

Gruß Wolfgang