Aloha :)
Der Definitonsbereich ist korrekt. Ich fasse das einfach als Bedingung \(|x|>1\) zusammen:$$f(x)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\quad;\quad |x|>1$$Zur Bestimmung des Wertebereichs, wählen wir ein \(y\in\mathbb{R}\) beliebig als Funktionswert \(f(x)\) aus und versuchen, ein \(x\) mit \(|x|>1\) zu finden, sodass \(f(x)=y\) ist. Wenn uns das gelingt, wissen wir, dass das ausgewählte \(y\) zur Wertemenge gehört.
$$\left.y=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.2y=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)\quad\right|\;e^\cdots$$$$\left.e^{2y}=\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}\quad\right|\;-1$$$$\left.e^{2y}-1=\frac{2}{x-1}\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{1}{e^{2y}-1}=\frac{x-1}{2}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.\frac{2}{e^{2y}-1}=x-1\quad\right|\;+1$$$$\left.x=1+\frac{2}{e^{2y}-1}\quad\right.$$Wir stellen sofort fest, dass es für \(y=0\) kein passendes \(x\) gibt, denn \(e^{2\cdot0}-1=0\), d.h. für \(y=0\) würden wir durch \(0\) dividieren.
Falls wir ein \(y>0\) wählen, ist \(e^{2y}-1>0\) und daher \(x>1\). Das heißt, alle \(y>0\) liegen im Wertebereich, weil wir ein passendes \(x>1\) aus dem Definitionsbereich angeben können, das auf \(y\) abbildet.
Falls wir ein \(y<0\) wählen, gilt:$$0<e^{2y}<1\;\;\Rightarrow\;\;-1<e^{2y}-1<0\;\;\Rightarrow\;\;-1>\frac{1}{e^{2y}-1}\;\;\Rightarrow\;\;-2>\frac{2}{e^{2y}-1}$$$$\Rightarrow\;\;-1>1+\frac{2}{e^{2y}-1}\;\;\Rightarrow\;\;x<-1$$Das heißt, alle \(y<0\) liegen im Wertebereich, weil wir ein passendes \(x<-1\) aus dem Definitionsbereich angeben können, das auf \(y\) abbildet.
Die Wertemenge ist daher \(W=\mathbb{R}^{\ne0}\).
~plot~ 0,5*ln((x+1)/(x-1)) ~plot~
