Definitions- und Wertemenge von f(x)= (3 e^x)/(e^x +2)

Question

Aufgabe:

f(x)= \( \frac{3 e^x}{e^x +2} \)

Kann man Df und Wf direkt ermitteln und wie?

Da es Exponentialfunktion ist, musst Df R sein, oder? 
Problem/Ansatz:

Bestimmen von Df

e^x +2 = 0

e^x = -2

x = ln -2

geht nicht, daher Df= R. Stimmt die Erklärung so? und kann man die Wertemenge durch einfache Schritte bestimmen bzw. wie?

Answer 1

Aloha :)

Die Definitionsmenge bestimmt ja, welche Zahlen du für \(x\) einsetzen darfst. Da die \(e\)-Funktion immer \(>0\) ist, kann der Nenner nie kleiner als 2 werden, sodass du nie durch 0 teilst. Die Definitionsmenge ist daher:

$$D=\mathbb{R}$$

Die Wertemenge ist etwas "kleiner", denn es ist:

$$f(x)=\frac{3e^x}{e^x+2}=\frac{3e^x+6-6}{e^x+2}=\frac{3e^x+6}{e^x+2}-\frac{6}{e^x+2}=3-\frac{6}{e^x+2}$$Wegen \(0<e^x<\infty\) beweget sich der Nenner zwischen \(2\) und \(\infty\). Damit liegt \(\frac{6}{e^x+2}\) zwischen \(3\) und \(0\), wird aber nie exakt gleich \(3\) oder \(0\). Die Wertemenge ist daher:$$W=]0;3[$$

~plot~ 3*e^x/(e^x+2) ; [[-10|10|-0,5|3,5]] ~plot~

Comments

Und der erste Term (3 - ) wurde vernachlässigt oder? dann teilt man 6 durch ]2,∞[ und bekommt man ]0,3[

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Ja, der Term hinter dem (3-) liefert nur Werte zwischen 0 und 3. Wenn ich die von der 3 abziehe, kriege ich wiederum Werte, die nur zwischen 0 und 3 liegen.

Answer 2

Def-Menge: Der Nenner dürfte nie =0 sein und ist es auch nie. Daher ist die Def-Menge ℝ.

Da es keine Polstellen gibt, muss für die Wertemenge der Funktionsgraph für x→±∞ betrachtet werden. Dann ergibt sich [0; 3] als Wertemenge.