Grenzwert von Folgen in einem normierten Raum

Question

Aufgabe:

Sei (V, ||.||) ein normierter Raum, (x_k)_k∈ℕ eine Folge in V und v,v' ∈ V.
Zeige:
Konvergiert (x_k)_k∈ℕ gegen v und gegen v', so gilt v=v'

Kann mir jemand bitte helfen? Wie genau zeige ich das?

Answer 1

da \( v \to v \) und \( v \to v' \) gilt, gibt es ein \( k_0 \) s.d. für \( k > k_0 \) gilt \( \| v_k - v \| \le \frac{\epsilon}{2} \) und \( \| v_k - v' \| \le \frac{\epsilon}{2} \) für jedes \( \epsilon > 0 \). Damit folgt

$$ \|  v - v' \|  = \| v - v_k + v_k - v' \| \le \| v_k - v \|  \| v_k - v' \|  \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon $$ Daraus folgt $$  v = v' $$