Beschränktheit und Konvergenz von Normierten Räumen

Question

Hallo, ich stehe vor folgendem Aufgabenproblem und weiß leider nicht wie ich dieses lösen kann. Ich hoffe es kann jemand helfen.

Wie schauen uns den Vektorraum in ℝ\( ^{2} \) mit der Norm  II·II∗: ℝ\( ^{2} \)→ ℝ an.

Definiert ist er durch: II(x1, x2)II∗ = \( \frac{1}{2} \) · |x1| +\( \frac{1}{4} \) · |x2|.

1) Es soll gezeigt werden, dass durch II·II∗ tatsächlich eine Norm auf ℝ\( ^{2} \) definiert ist.

2) Ist die Menge B := {(x, y) ∈ ℝ\( ^{2} \): \( x^{2} \)  +\( y^{2} \) ≤ 1} ⊆ ℝ\( ^{2} \) beschränkt (wegen der Norm II·II∗)?

Comments

Hallo,

eine Norm ist durch 3 oder 4 Eigenschaften definiert (je nach Formulierung). Die brauchst Du nur für die konkrete Abbildung überprüfen.

Die Formulierung "wegen der Norm" in 2) kommt mir merkwürdig vor?

Gruß Mathhilf

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Hallo Mathhilf, ich habe mir die 3 Eigenschaften für Definitheit, positive Homogenität und die Dreiecksungleichung angeschaut. Kannst du mir zeigen, wie die Eigenschaften überprüfe für die definierte Norm? Komme da nicht weiter :(

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Berechne doch mal

$$\|\lambda (x_1,x_2)\|\ast$$

und vergleiche mit

$$|\lambda| \|(x_1,x_2)\|\ast$$

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Hey Mathhilf, könnte die Aufgabe nun lösen. Kannst du mir vielleicht zeigen, wie man die 2 Aufgabe löst? Dafür wäre ich dir sehr dankbar.. Vg

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Ich hatte schonmal in meinem ersten Kommentar darauf hingewiesen, dass ich die Formulierung merkwürdig finde ("wegen der Norm.."). Ich würde erwarten: beschränkt bezüglich der Norm. Wenn das gemeint ist, dann suchen wir doch eine Zahl c, so dass gilt

$$(x,y) \in B \Rightarrow \|(x,y)\|\ast \leq c $$

Dazu kannst Du mal eine einfache Abschätzung verwenden: $$(x,y) \in B \Rightarrow |x|\leq ?,|y|\leq ?...$$

Gruß Mathhilf

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Hallo Mathhilf, leider bin ich noch nicht weiter gekommen. Kannst du mir sagen, wie man die Abschätzung durchführt?