Aufgabe:
Ich soll beweisen, dass die Multiplikation ganzer Zahlen wohldefiniert ist.
Also ich soll beweisen, dass folgendes gilt:
(ac + bd,ad + bc) ∼ (a’c‘ + b’d‘, a’d‘ + b’c‘)
Problem/Ansatz:
Ich habe etwas rumprobiert und auch schon etwas gegooglet. Immer wieder bin ich auf solche (oder ähnliche Lösungen gestoßen:
(a, b) · (c, d) ∼ (a‘ , b‘ ) · (c‘ , d‘ ).
Wir behaupten (a, b) · (c, d) ∼ (a‘ , b‘ ) · (c, d), also (ac + bd, ad + bc) ∼ (a‘c + b‘d, a‘d + b‘c).
Das heißt (ac + bd) + (a‘d + b‘c) = (ad + bc) + (a‘c + b‘d). '
Wir klammern auf beiden Seiten c und d aus und erhalten (a + b‘)c + (b + a‘)d = (b + a)c + (a + b‘)d.
Ein ähnliches Argument liefert dann (a‘, b‘ ) · (c, d) ∼ (a‘ , b‘) · (c‘, d‘).
Mein Problem ist nun folgendes. Ich verstehe die Schritte an sich.
Aber wieso reicht es aus, wenn wir jetzt (a, b) · (c, d) ∼ (a‘ , b‘ ) · (c, d) betrachten und nicht anstelle von (c, d) (c',d')?
Also wieso können wir das einfach dadurch ersetzen bzw. inwiefern ist das dann ein Beweis für die Aussage?
Stehe da leider gerade auf dem Schlauch und freue mich über Tipps (oder auch Tipps für einen ganz anderen Ansatz, wenn das denn möglich ist).
