Stärkstes Wachstum/Abnahme bei e-Funktion

Question

Aufgabe:

Die Funktionsschar f(t)= c*t*(e^-k*t)³  

beschreibt die Wachstumsrate von Bakterien in einem abgeschlossenem Raum. Wobei für den Parameter gleich c=1 gilt. Es gilt der Zeitpunkt des stärksten Wachstums, sowie den Zeitpunkt der stärksten Abnahme zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Ich nehme an, dass bei dieser Aufgabe die Wendepunkte gesucht sind. Also f"(t)=0. Um zu Differenzieren benötige ich beim ersten Schritt die Produktregel. Auch weiß ich, dass man bei dieser Funktion das c gleich weglassen kann, da dieses ja 1 ist. Allerdings habe ich Probleme mit dem Exponenten 3 hinter der Klammer und dass das t vor dem e gleichzeitig auch im Exponenten von e vorhanden ist. In meinen Aufzeichnungen finde ich leider keinen Ansatz, wie das Problem zu bewältigen ist. Ich habe noch nie mit so einer Aufgabe zu tun gehabt.

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Answer 1

Schlag mal die Potenzgesetze nach. Weißt du weiterhin wie dein Graph in etwa verläuft?

f(t) = t·e^(- 3·k·t)

f'(t) = e^(- 3·k·t)·(1 - 3·k·t)

f''(t) = 3·k·e^(- 3·k·t)·(3·k·t - 2) = 0

3·k·t - 2 = 0 --> t = 2/(3·k)

Dieses ist der Zeitpunkt der stärksten Abnahme.

Den Zeitpunkt der stärksten Zunahme ist ein Randextrema.

Du solltest noch die Extrema begründen.