Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt: (Matrix)

Question

Sei

A :=  \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)  ∈ ℝ^2×2.

Für n ∈ ℕ sei Aⁿ als das n-fache Produkt von A mit sich selbst definiert:

\( A^{n}:=\underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n-\text { mal }} \)

Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

Aⁿ = \( \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Answer 1

Aloha :)

Für \(A^n=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)^n\) mit \(n\in\mathbb{N}\) soll gezeigt werden, dass: \(A^n=\left(\begin{array}{c}1 & n\\0 & 1\end{array}\right)\)

Wir zeigen das mittels vollständiger Induktion.

Verankerung bei \(n=1\):

$$A^n=A^1=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)^1=\left(\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & n\\0 & 1\end{array}\right)\quad\checkmark$$

Induktionsschritt mit \(n\to n+1\):

$$A^{n+1}=A^n\cdot A\stackrel{I.V.}{=}\left(\begin{array}{c}1 & n\\0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot1+n\cdot0 & 1\cdot1+n\cdot1\\0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1\end{array}\right)$$$$\phantom{A^{n+1}}=\left(\begin{array}{c}1 & n+1\\0 & 1\end{array}\right)\quad\checkmark$$