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Sei \( F: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) ein Endomorphismus.
bezeichne
\( F^{i}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) die Abbildung des \( i \)-maligen Anwendens von \( F \), d.h.
\( F^{i}(v)=F(F(\ldots F(v) \ldots)), \quad v \in \mathbb{R}^{n} . \)
(a) Zeigen Sie, dass für die Abbildungen \( F^{i}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) für alle \( i \in \mathbb{N} \) die folgende Inklusion gilt:
\( \{0\} \subseteq \operatorname{Ker}(F) \subseteq \operatorname{Ker}\left(F^{2}\right) \subseteq \cdots \)
(b) Nutzen Sie die Dimensionsformel (Satz 3.3) für einen allgemeinen Beweis der folgenden Aussage: Ist \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto G x \), mit \( G \in M(2 \times 2, \mathbb{R}) \) eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft \( \operatorname{Im}(g) \subseteq \operatorname{Ker}(g) \), so gilt \( \operatorname{rang}(G) \leqslant 1 \).
(c) Bestimmen Sie explizit eine Matrix \( G \in M(2 \times 2, \mathbb{R}), G \neq 0 \), sodass für die lineare Abbildung \( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, x \mapsto G x \) die Eigenschaft \( \operatorname{Im}(g) \subset \operatorname{Ker}(g) \) gilt. Was lässt sich in diesem Fall allgemein über die Inklusion in (1) und die Inklusion
\( V \supseteq \operatorname{Im}(F) \supseteq \operatorname{Im}\left(F^{2}\right) \supseteq \cdots \)
aussagen?
