Zeigen Sie, dass es ein k ∈ N gibt, für das gilt: f^k (V ) = f^k+l (V) für alle l ∈ N.

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und f : V -> V ein Endomorphismus. Wir definieren

 f⁰(V ) = V

und

f ⁱ⁺¹ (V) = f(f ⁱ (V)).

Zeigen Sie, dass es ein k ∈ N gibt, für das gilt: f ^k (V ) = f ^k+l (V) für alle l ∈ N.

Ich weiß nicht wie ich das ganze hier beweisen kann.

Answer 1

Hallo,

es ist zunächst \( \ker(f^i) \subset \ker(f^{i+j}) \). Das zeigt man mit der einfachen Überlegung, dass für \( f^i(x) = 0 \) wegen der Linearität von \( f \) auch \( f^{i+1}(x) = f(f^i(x)) = f(0) = 0 \) ist.

Weil \( V \) endlichdimensional ist, wird die Folge \( \ker(f^i) \subset \ker(f^{i+1}) \subset \dots \) irgendwann stationär, das heißt \( \ker(f^j) = \ker(f^{j+j'}) \) für ein \( j \).

Wegen \( V = \textrm{im}(f) \bigoplus \ker(f) \) und der endlichen Dimension von \( V \) wird daher auch die Kette \( \textrm{im}(f^i) \supset \textrm{im}(f^{i+1}) \supset \dots \) stationär, das heißt \( \textrm{im}(f^j) = \textrm{im}(f^{j+j'}) \) für jenes \( j \).

Grüße

Mister

Comments

Müsste man nicht irgendwo noch k und l verwenden?

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Wenn man lieber \( k \) und \( l \) verwenden will, dann bildet die korrekte Umbenennung eine kleine Zusatzaufgabe.