Korrektur von Beweisen zu Primzahlen, die fehlerbehaftet sind.

Question

Aufgabe:

Soll Beweise verbessern, leider besitze ich kein Skript, das Regeln für Beweise enthält oder generell Sachen, die nicht vorkommen dürfen.

Bräuchte Hilfe dabei folgende Beweise zu verbessern.

$$\begin{array}{l}{\text { Satz. Alle Primzahlen außer } 2 \text { sind ungerade. }} \\ {\text { Beweis. Sei } p \text { eine Primzahl. } p \neq \text { Zwei. } \Longrightarrow p \text { hat dann genau } 2 \text { Teiler, nämlich } 1 \text { und } p \text { . Wäre p gerade, so } p \text { per Def. }} \\ {\text { durch Zwei teilbar. } \Longrightarrow 2 \text { ein weiterer Teiler von } p . \text { Widerspruch, dazu dass } p \text { hat, genau } 2 \text { Teiler. Also } p \text { ungerade. }}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { Satz. Es gibt unendlich viele Primzahlen. }} \\ {\text { Beweis. Durch Widerspruch: endlich viele Primzahlen, } \Rightarrow \text { dann ist } p \text { die größte Primzahl. Jede Zahl } n>p \text { ist, }} \\ {\text { durch 1 }<q \leq p \text { teilbar. Betrachte nun } n:=p !+1 \text { . Trivial } n>p \text { , und nicht } n \text { teilbar durch } q \text { (da } \forall q \text { gilt } p !=n-1 \text { ist }} \\ {\text { durch } q \text { teilbar } \rightarrow p !+1=n \text { nicht). Widerspruch und } p \text { gibt es nicht. }}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { Satz. Die Summe der ersten n positiven Zahlen ist } n(n+1) / 2 \text { . }} \\ {\text { Beweis. Durch Induktion iber } n \text { . IA } n=1: \text { Die Summe der 1. Zahl ist natitlich gerade } 1=1(1+1) / 2 . \text { Für den IS }} \\ {\text { gelte nun, }\sum \text{ der ersten } n \text { Zahlen }=n(n+1) / 2, \text { und wir wollen zeigen, dass die } \sum \text { der ersten } n+1 \text { Zahlen }}\end{array}$$$$\begin{array}{l}{=(n+1)(n+2) / 2 \text { ist. Nun ist die Summe der } 1 . n+1 \text { Zahlen sicherlich gleich der Summe der } 1 . n \text { Zahlen und } n+1 .} \\ {\text { Da nach IV } \sum 1 . n \text { Zahlen }=n(n+1) / 2 \text { ist, folgt, die Summe der ersten } n+1 \text { Zahlen } n(n+1) / 2+(n+1) \text { ist. }} \\ {\text { Also } n(n+1) / 2+(n+1) \Rightarrow n(n+1) / 2+2(n+1) / 2 \Rightarrow\left(n^{2}+n+2 n+2\right) / 2 \Rightarrow(n+1)(n+2) / 2 . \text { Damit IS }} \\ {\text { gezeigt. }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Danke, für jegliche Hilfe