Länge der Lücken zwischen Primzahlen beweisen

Question

Aufgabe:

Gezeigt werden soll: Für jedes k∈ℕ gibt es ein n∈ℕ, sodass n, n+1, n+2,..., n+k alle keine Primzahlen sind.

Meine Überlegung ist, dass keine der Zahlen eine Primzahl sein kann, denn für 2≤i≤k+1 hat i eine Primteiler, der kleiner als k+2 ist. Dieser Faktor teilt n und damit auch n+i. Wichtig dabei ist, dass das Produkt der Primzahlen kleiner als k+2 ist.

Kann ich diese Aussage so beweisen oder gibt es da einen besseren Weg?

Ich bin über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Hallo,

Weise nach, dass oben geforderte Teilbarkeit für$$n = (k+2)! - (k+2)$$ gilt. So ist $$\begin{aligned} k+2 &\mid n = (k+2)! - (k+2)\\ k+1&\mid n+1 = (k+2)!-(k+1) \\ k &\mid n+2 =(k+2)!-k \\ &\dots\\ k-(k-3)= 3 &\mid n+2 +(k-3) = n + (k-1) = (k+2)!-3 \\ 2 &\mid n+k = (k+2)!-2 \end{aligned}$$

Answer 2

Für jedes k∈ℕ

Ich wähle k = 5

gibt es ein n∈ℕ, sodass n, n+1, n+2,..., n+k alle keine Primzahlen sind.

Welchen Wert schlägst du für n vor?

dass keine der Zahlen eine Primzahl sein kann

Für n = 1 ist aber mindestens eine der Zahlen eine Primzahl.

dass das Produkt der Primzahlen kleiner als k+2 ist.

Dann ist das Produkt der Primzahlen entweder 2 oder 3.

Spoiler gibt es unter https://www.mathelounge.de/844658/zeigen-jedes-gibt-ein-n-sodass-alle-keine-primzahlen-sind