Aufgabe:
Sei \(f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) eine integrierbare Funktion. Beweisen Sie, dass dann auch \(g\) integrierbar ist, wobei \(g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\vert f(x) \vert\).
Ansatz/Lösung:
\(I_{k} = [x_{k-1}, x_{k}] \) Zerlegung von \([a,b]\)
\(m_{k} = min_{x \in I_{k}} f(x)\)
\(M_{k} = max_{x \in I_{k}} f(x)\)
\(\overline{m_{k}} = min_{x \in I_{k}} g(x)\)
\(\overline{M_{k}} = max_{x \in I_{k}} g(x)\)
\(\forall x, y \in I_{k} : \vert g(x) - g(y) \vert \le \vert f(x) - f(y) \vert \le M_{k} - m_{k}\)
\(\implies \overline{M_{k}} - \overline{m_{k}} \le M_{k} - m_{k}\)
Da \(f\) integrierbar ist folgt:
\(\forall \epsilon > 0 \space \exists \space Zerlegung \space Z : O_{Z}(f) - U_{Z}(f) < \epsilon\)
\(O_{Z}(g) - U_{Z}(g) \le \sum_{k=1}^{n}(\overline{M_{k}} - \overline{m_{k}})(x_{i} - x_{i-1}) \le \sum_{k=1}^{n}(M_{k} - m_{k})(x_{i} - x_{i-1}) = O_{Z}(f)-U_{Z}(f) < \epsilon\)
\(\implies g \space ist \space integrierbar \)
Frage:
Ist mein Lösungsansatz korrekt?
