Antwort mit KI erzeugt
Erklärung:
Um zu zeigen, dass es in der Folge der Primzahlen beliebig große Lücken geben kann, betrachten wir eine gegebene Primzahl \(p\) und konstruieren die Zahl \(N\) als das Produkt aller Primzahlen, die kleiner oder gleich \(p\) sind, also:
\(
N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot p
\)
Betrachten wir die Zahlenfolge \(N+2, N+3, N+4, \ldots, N+p\), so können wir über diese \(p-1\) aufeinanderfolgenden Zahlen bestimmte Aussagen treffen.
Eigenschaften der Zahlenfolge \(N+2\) bis \(N+p\):
Jede Zahl in dieser Folge ist durch eine der Primzahlen kleiner oder gleich \(p\) teilbar. Das liegt daran, dass:
- \(N+2\) durch 2 teilbar ist, da \(N\) selbst gerade ist.
- \(N+3\) ist durch 3 teilbar, da \(N\) ein Vielfaches von 3 ist und somit \(N+3-3=N\) durch 3 teilbar ist.
- Dieses Muster setzt sich fort bis \(N+p\), welches durch \(p\) teilbar ist, da \(N\) ein Vielfaches von \(p\) ist.
Folglich kann keine der Zahlen in der Folge \(N+2\) bis \(N+p\) eine Primzahl sein, da alle diese Zahlen eine kleinere Primzahl als Faktor haben. Dies bedeutet, dass zwischen \(p\) und der nächsten Primzahl nach \(N+p\) mindestens \(p-1\) nicht-primzahlige Zahlen liegen, was eine Lücke in der Folge der Primzahlen zeigt, die mindestens \(p-1\) Zahlen umfasst.
Konstruktion einer Lücke, die mindestens 10 Zahlen umfasst:
Um eine Lücke zu konstruieren, die mindestens 10 Zahlen umfasst, können wir \(p=11\) wählen. Die Zahl \(N\) wäre dann das Produkt aller Primzahlen kleiner oder gleich 11:
\(
N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11
\)
Die aufeinanderfolgenden Zahlen \(N+2\) bis \(N+11\) wären dann alle nicht primzahlig, da sie jeweils durch mindestens eine Primzahl (2 bis 11) teilbar sind. Somit haben wir eine Lücke von mindestens 10 aufeinanderfolgenden Nicht-Primzahlen konstruiert.
Diese Herangehensweise zeigt nicht nur, dass es in der Folge der Primzahlen beliebig große Lücken gibt, sondern bietet auch eine Methode, solche Lücken systematisch zu konstruieren, indem man \(p\) entsprechend wählt.
