6.1 Aufgabe 1 Sei n Element N. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass x^n - y^n durch x-y teilbar ist.

Question

Aufgabe 1 Sei n Element N. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass x^n - y^n durch x-y teilbar ist. Hinweis: Sie mussen beim Vererbungsschritt einen geeigneten Term subtrahieren und gleich wieder addieren, so dass Sie insgesamt nichts verandert haben. Der Term muss so gewahlt werden, dass Sie ausklammern konnen.

Comments

@Anonym: Lies jeweils deinen Text noch durch und korrigiere die falsch erkannten Zeichen. Hier hattest du z.B. n 2 N stehen. Oft ist weniger offensichtlich, was gemeint ist.

Answer 1

Eine etwas andere Idee

Mache mal mit n+1 eine Polynomdivision

(x^{n+1} - y^{n+1}) : (x - y) = x^n + y * (x^n - y^n) / (x - y)

Jetzt sieht man auf der Rechten seite den Quotienten (x^n - y^n) / (x - y). Der ist ganzzahlig wenn x^n - y^n durch (x - y) zu teilen ist. Das soll aber nach der Induktionsannahme der Fall sein. Daher ist dann auch der Term auf der Linken Seite ganzzahlig und somit ist auch x^{n+1} - y^{n+1} durch (x - y) teilbar.

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Wenn du beide Seiten der Gleichung mit (x - y) multiplizierst, solltest du auch auf die geforderte Umformung kommen. Aber eventuell ist der Schritt über die Polynomdivision hier offensichtlicher.