Beweisen Sie folgende Aussage mittels vollständiger Induktion: 6^n - 5n + 4 ist durch 5 teilbar.

Question

a) Für alle n ∈ ℕ gilt: 6ⁿ - 5n + 4 ist durch 5 teilbar.

Induktionsanfang:

Für n=1 gilt 6¹ - 5 · 1 + 4 = 5

5 ist durch 5 teilbar, d.h. A(1) ist wahr.

Induktionsvoraussetzung: Gelte für n ∈ ℕ: 6ⁿ - 5n + 4, d.h. es existiert ein m in ℕ, so dass gilt:

5m = 6ⁿ - 5n + 4

Induktionsschluss:

6^{(n + 1)} - 5(n + 1) +4 = 6^{(n + 1)} - 5n - 1

                                 = ...

... So hier komm ich nicht weiter. Ich habe auch ähnliche Aufgaben angeschaut, aber es hängt immer am Induktionsschluss, weil ich nicht verstehe wie man bei dem Lösungsweg weiter umformt.

Answer 1

6^{(n + 1)} - 5(n + 1) +4 = 6^{(n + 1)} - 5n - 1

                                 =   6*6^n - 5n - 1

                                = (5+1)*6^n - 5n - 1

                                  = 5*6^n +1*6^n - 5n - 1

                                 = 6^n - 5n +  5*6^n  - 1

                                 =  6^n - 5n+4 - 4  +  5*6^n  - 1

                                    =  6^n - 5n+4  +  5*6^n  - 5 

                                  =  6^n - 5n+4  +  5*(6^n  - 1 ) 

Das rote geht durch 5 laut Ind.vor. und das grüne, weil der Faktor 5 davor steht.

Also auch die Summe durch 5 teilbar.