Beweis mit vollständiger Induktion: Zahl a_{n} = 2^{n+2} + 7^n ist durch 5 teilbar

Question

Beweisen Sie Folgendes mit vollständiger Induktion:

Für alle n ∈ N ist die Zahl a_{n} =  2^{n+2} + 7^n durch 5 teilbar.

Ich komme nicht klar mit der Induktionsschritt.

Answer 1

Hallo Lara,

$$a_n =  2^{n+2} + 7^n $$ so geht's: Induktionsschritt $$\begin{aligned} a_{n+1} &= 2^{n+3} + 7^{n+1} \\ &= 2 \cdot 2^{n+2} + 7 \cdot 7^n \\ &= 2 \cdot 2^{n+2} + 2 \cdot 7^n + 5\cdot 7^n \\ &= 2 \underbrace{\left(2^{n+2} + 7^n\right)}_{=a_n} + 5\cdot 7^n \end{aligned}$$ und wenn \(a_n\) durch \(5\) teilbar ist, dann ist \(2a_n + 5 \cdot 7^n\) auch durch \(5\) teilbar.