Vollständige Induktion: "3^{2n+1} + 2^{n-1} ist durch 7 teilbar." Und Fibonacci-Zahl.

Question

Aufgaben:

c) Die natürliche Zahl \( 3^{2 n+1}+2^{n-1} \) ist durch 7 teilbar.

d) Wir bezeichnen mit \( F_{n} \) die \( n \) -te Fibonacci-Zahl. Es gilt:

\( n \) ist durch 4 teilbar \( \Leftrightarrow F_{n} \) ist durch 3 teilbar.

Hinweis. Hier sind Hind Hin- und Rückrichtung je eine Induktion nach n.

Zur c: Muss ich das irgendwie zur Summenformel umschreiben?

Zur d: Wie kann ich das durch Fibonacci beweisen?

Comments

zur c? Muss ich das irgendwie zur Summenformel umschreiben?

Nun, ich wüsste nicht, wie. Hast Du eine Idee? Wie mir scheint, soll der Beweis wohl per vollständiger Induktion geführt werden, was hier nicht schwer ist. Es geht aber auch ohne Induktion.

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zu c) mein musst du nicht. Einfach das Schema zur vollständigen Induktion abradeln:

Induktionsanfang: n = 1 (vermutlich) -> 3³ + 2⁰ = 28 und das ist durch 7 teilbar

Induktionsschluss: n -> n +1

....

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zu d)

f_n := F_n mod 3     vielleicht ?

Answer 1

Du sollst das einfach über vollständige Induktion zeigen. Das hast du doch sogar schon in die Aufgabenstellung geschrieben. Für c) sieht das dann wie folgt aus:

 

3^{2·n + 1} + 2^{n - 1} ist durch 7 teilbar

Wir prüfen die Aussage für n = 1:

3^{2·1 + 1} + 2^{1 - 1} = 3^3 + 2^0 = 28 --> stimmt

Wir prüfen ob es für n + 1 gilt, wenn es für n gilt:

3^{2·(n + 1) + 1} + 2^{(n + 1) - 1}
= 3^{2·n + 3} + 2^n
= 9·3^{2·n + 1} + 2·2^{n - 1}
= (3^{2·n + 1} + 2^{n - 1}) + (3^{2·n + 1} + 2^{n - 1}) + (7·3^{2·n + 1})

Hier sind alle Summanden durch 7 teilbar, weshalb auch die Summe durch 7 teilbar ist.