die Aufgabe lautet:
Die Fibonacci-Folge {xk} ist durchx1 :=1, x2 :=1, xk :=xk−1 +xk−2rekursiv definiert. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass x3n eine gerade Zahl für alle n ∈ N ist.
Also muss ich zeigen dass : x3n-1 + x3n-2 = 2n. Richtig?
Induktionsanfang: n=1
x2+x1= 2 2=2 Wahr.
Induktionsschritt:
ZZ: x3n+2 + x3n+1 = 2n + 2
Ich habe das versucht aber gehe immer wieder zum selben Punkt und kann nicht weiter. Bitte Hilfe
Vielen Dank im voraus!
IA: \( x_3 = 2 \) ist gerade
IS:
$$ x_{3n+3} = x_{3n+2}+x_{3n+1} = (x_{3n+1}+x_{3n})+x_{3n+1} = 2x_{3n+1}+x_{3n} $$
Nach IV ist \( x_{3n} \) durch 2 teilbar, also auch \( x_{3n+3} \).
Du musst zeigen: Aus x3n gerade folgt x3(n+1) gerade. Zunächst ist folgender Satz zu beweisen:
Da weder alle Fibonacci-Zahlen gerade noch alle ungerade sind, ist Ihre Folge u, u, g, u, u, g, ....
x3n gerade (Voraussetzung)
x3n+1 und x3n+2 ungerade (Satz)
x3n+3=x3(n+1) ungerade (Satz).
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