Term auflösen bei vollständiger Induktion zu "beweisen, dass 3^{2n+1}+2^{n-1} für n≥2 durch 7 teilbar ist"

Question

Ich sollte beweisen dass 3^{2n+1}+2^{n-1} für n≥2 durch 7 teilbar ist, aber ich komme an der Stelle wo 3^{2n+3} + 2^n ist nicht weiter, um am Ende 9(3^{2n+1}+2^{n-1})-7*2^{n-1} zu bekommen. Wie hat man es umgeformt?

Answer 1

3²ⁿ⁺³ + 2ⁿ

= 9*3²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ

= 9*3²ⁿ⁺¹ + 2*2^n-1

und damit man die 9 ausklammern kann wird jetzt ergänzt

= 9*3²ⁿ⁺¹ + 2*2^n-1 +7*2^n-1 - 7*2^n-1  Dann den 2. und 3. zusammenfassen

= 9*3²ⁿ⁺¹ + 9*2^n-1  - 7*2^n-1 Dann vorne 9 ausklammern gibt

9(3²ⁿ⁺¹+2^n-1)-7*2^n-1

und das in der Klammer ist wegen Ind. vor. durch 7 teilbar,

und das hinter dem Minus, weil der Faktor 7 drin steckt.

Answer 2

es wurde vermutlich
$$ +7\cdot 2^{n-1}-7\cdot 2^{n-1} $$ ergänzt.