Zz.: 7n− 1 für alle n∈N durch 6 teilbar ist.
Induktionsanfang: \(n=1\): \(7^1-1\equiv 0 \pmod{6}\quad \checkmark\)
Induktionsvoraussetzung IV: \(7^n-1\) ist für beliebig festes \(n\) durch \(6\) teilbar.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist: \(7^{n+1}-1\) durch 6 teilbar
$$\begin{aligned}7^{n+1}-1&=7\cdot 7^{n}-1&&\lvert\; \text{ IV, } 7^n-1\text{ ist ganzz. teilbar durch } 6\\&\equiv 7\cdot 0 \pmod{6} \\&\equiv 0\pmod{6}&&\lvert\; \text{ ganzz. Rest ist } 0 \text{, also ...}\\&\iff 6\mid \left(7^{n+1}-1\right)&&\lvert\; \text{... }6 \text{ teilt } 7^{n+1}-1\end{aligned}$$ Also \(7^{n+1}-1\) ist durch 6 teilbar und die Aussage ist bewiesen.
Kleine Hinweise:
\(x \mid y\) mit \(x,y\in\mathbb{Z}\) bedeutet \(x\) teilt \(y\) genau dann, wenn es eine ganze Zahl \(k\) gibt mit \(x\cdot k= y\).
\(a\equiv b \pmod{n}\) für \(a,b,n\in\mathbb{Z}\) bedeutet: Es gibt eine ganze Zahl \(k\) mit \(a=k\cdot n +b \), also bei der ganzzahligen Division von \(a\) durch \(n\) bleibt ein Rest von \(b\). Wenn der Rest \(b=0\) ist, wissen wir, dass die Zahl (ganzzahlig) teilbar durch \(n\) ist.
