Zeige durch vollständige Induktion, dass für jedes n∈N 13^n -1 durch 12 teilbar ist.

Question

 Hallo,

ich muss zeigen, dass n∈ N 13² -1 durch 12 teilbar ist.

Kann mir da jemand helfen? Ich weiß nicht, wie ich den Induktionsschritt machen soll. Hier gibt es nicht zwei Seiten.

EDIT(Lu): In der Überschrift die unten erwähnte Behauptung. 

Answer 1

13² -1 ist 168, was das gleiche wie 12·14 ist.

Dazu braucht man keine vollständige induktion

Comments

Huch habe mich vertippt!

13ⁿ -1 soll es heißen.

Tut mir leid :(

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13ⁿ⁺¹-1 = 13·13ⁿ-1 = 12·13ⁿ+13ⁿ-1

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Und das war der beweis? Woher holst du denn die 12 her und warum wird aus 13 13ⁿ?

Danke für die Antwort .

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Das ist kein vollständiger Beweis. Der Induktionsanfang fehlt und ich habe die Begründungen für die Gültigkeit der einzelnen Umformungsschritte weggelassen. Hier sind die Begründungen:

1. Laut Definition der Potenzschreibweise und wegen des Assoziativgesetzes ist 13ⁿ⁺¹=13·13ⁿ.
   
2. Es ist 13 = 12+1, also ist 13·13ⁿ=(12+1)·13ⁿ.
   
3. Mit dem Distributivgesetz kann die rechte Seite dieser Gleichung ausmultipliziert werden, also gilt 13·13ⁿ=12·13ⁿ+1·13ⁿ.
4. Wegen der Neutralität der 1 bezüglich Multiplikation gilt dann ebenso 13·13ⁿ=12·13ⁿ+13ⁿ.
5. Zusammnegefasst gilt also 13ⁿ⁺¹=12·13ⁿ+13ⁿ.
6. Subtrahiert man 1 auf beiden Seiten dieser Gleichung, so ergibt dies 13ⁿ⁺¹-1=(12·13ⁿ+13ⁿ)-1.
7. Nach dem Assoziativgesetz gilt deshalb 13ⁿ⁺¹-1=12·13ⁿ+(13ⁿ-1).
8. In dem Term 12·13ⁿ+(13ⁿ-1) ist 12·13ⁿ durch 12 teilbar, weil es ein Vielfaches von 12 ist und (13ⁿ-1) durch 12 Teilbar nach Induktionsvoraussetzung. Also ist auch die Summe durch 12 teilbar.
9. Dadurch ist auch 13ⁿ⁺¹-1 durch 12 teilbar.

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Du studierst 100 Pro an der Uni Ulm ^^

Hast du schon den (IA) dazu gefunden? Wie schreibt man den denn richtig auf?

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IA: Sei n = <hier kleinste natürliche Zahl einsetzen>.  Dann ist 13ⁿ-1=...=12·... also durch 12 teilbar.