Mit Induktion zu zeigen: 2^{3n}+13 ist durch 7 teilbar

Question

Könnte die Lösung hier passen?

Wir zeigen die Behauptung \({ 2 }^{ 3n }+13\) ist durch 7 teilbar für \(n \in \mathbb{N}\).

Induktionsanfang: Für \(n=0\) ist die Behauptung 7 teilt \({ 2 }^{ 3\cdot0 }+13=14\) richtig

Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges aber festes \(n \in \mathbb{N}\) gilt $$ \qquad { 2 }^{ 3n }+13=7p \quad \text{mit}\space p\in \mathbb{N} $$ Induktionsbehauptung: Es soll für \(n=n+1\) gelten $$\qquad { 2 }^{ 3(n+1) }+13=7q \quad \text{mit}\space q\in \mathbb{N}$$ Induktionsschritt: Es soll für \( n\rightarrow n+1\) gelten: $$ \begin{aligned}\qquad { 2 }^{ 3(n+1) }+13&={ 2 }^{ 3n+3 }+13 \\&={ 2 }^{ 3 }\cdot{ 2 }^{ 3n }+13 \\&={ 2 }^{ 3 }\cdot{ 2 }^{ 3n }+13+{ 2 }^{ 3 }\cdot13-{ 2 }^{ 3 }\cdot13 \\&={ 2 }^{ 3 }({ 2 }^{ 3n }+13)+13-{ 2 }^{ 3 }\cdot13 \\&\overset { IV }{ = } { 2 }^{ 3 }(7p)-7\cdot13 \\&=8(7p)-7\cdot13\\&=7(8p-13) \end{aligned}$$ q.e.d.?

Comments

Der Induktionanfang ist falsch.

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Du könntest schreiben:

Induktionsanfang:
Für \(n=0\) ist \(\:7\:\vert \left(2^{3\cdot 0} + 13\right) = 14 \) wahr.

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Job, dass habe ich vorhin leider vergessen:)

Stimmt der Rest?

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"Es soll für \(n=n+1\) gelten"
"Es soll für \( n\to n+1\) gelten"

Das kannst du so doch nicht schreiben. Hat man euch das wirklich so gezeigt?

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Naja uns hat man generell gar nichts gezeigt, mache es im Selbststudium, studiere noch nicht:)

Wie würde man es denn besser schreiben, so dass ich es einmal richtig gesehen habe.

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Vlt im IV:

Wir zeigen nun n-> n+1....?

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Ich finde die folgende Darstellung vollkommen ausreichend:

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zz. \( \forall n \in \mathbb{N} : 7 | \left( 2^{3n} + 13 \right) \)

Bew. mit vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

Die Aussage gilt für \( n=0 \), denn \( 2^{3\cdot 0} + 13 = 14 \) und \( 7 | 14 \).

Induktionsschritt ("\( n \rightsquigarrow n+1 \)"):

(IV) Die Aussage gelte für ein \( n \in \mathbb{N} \), d.h. \( 7 | 2^{3n} + 13 \).

(IB) Die Aussage gilt dann auch für \(n+1\), d.h. \( 7 | 2^{3(n+1)} + 13 \), denn:

$$ 2^{3(n+1)} + 13 = 2^{3n + 3} + 13 = 8 \cdot 2^{3n} + 13 = \left( 7 \cdot 2^{3n} \right) + \left(2^{3n} + 13\right) $$

Offenbar gilt \( 7 | 7\cdot 2^{3n} \), außerdem nach (IV) auch \( 7 | 2^{3n} + 13 \).

Somit \( 7 | 2^{3(n+1)} + 13 \). \( \Box \)

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Beweise beendet man mit einem Kasten. Das QED wird nur noch gelegentlich bei sehr langen Beweisen verwendet.

\(n=n+1\) ergibt aber keinen Sinn, denn diese Gleichung ist in \( \mathbb{N} \) nie erfüllt. Auch bei "Es soll für \( n \to n+1 \) gelten" ist nicht klar, was du sagen will. Es soll ja nichts gelten, du möchtest ja viel eher zeigen, dass es gilt.

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Ahhh super , ich danke dir für die Tipps:)

Answer 1

Ist mit dem Kommentar richtig.

Am Schluss könnte vielleicht noch stehen, also mit

q = 8p-13 ist die I.beh. erfüllt.

Comments

Alles Klar mach ich so, danke:)

Answer 2

  Hier du solltest mehr modulo lernen .  Diesen Klax Fez mach ich doch im Kopp .

     2  ³  =  1  mod  7  ===>  2  ^  (  3  n  )  =  1  ^  n  =  (  +  1  )        (  1  )

     13  =  (  -  1  )  mod  7       (  2  )

    Dass ihr das nicht könnt - dass fast niemand es beherrscht .  Bei den ganzen Quersummenregeln rächt sich das nämlich bitter .

Comments

Mmh muss ich mir mal anlesen, sagt mir aber leider noch nichts:)

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  Vielleicht wäre es ganz geschickt, wenn du dir mal einen Algebratext besorgst .  Artin, v.d. Waerden oder das höchst geniale Skript von Otto Haupt .  Und dann machst du dich mal kundig übeer   den ===>  Restklassenkörper  F_p  .

     So bald du Modulorechnungen beherrschst, meld dich ruhig nochmal.  Dann bring ich dir mal bei, wie man mit einer Quersumme Teilbarkeit testet .