Ich finde die folgende Darstellung vollkommen ausreichend:
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zz. ∀n∈N : 7∣(23n+13)
Bew. mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang:
Die Aussage gilt für n=0, denn 23⋅0+13=14 und 7∣14.
Induktionsschritt ("n⇝n+1"):
(IV) Die Aussage gelte für ein n∈N, d.h. 7∣23n+13.
(IB) Die Aussage gilt dann auch für n+1, d.h. 7∣23(n+1)+13, denn:
23(n+1)+13=23n+3+13=8⋅23n+13=(7⋅23n)+(23n+13)
Offenbar gilt 7∣7⋅23n, außerdem nach (IV) auch 7∣23n+13.
Somit 7∣23(n+1)+13. □
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Beweise beendet man mit einem Kasten. Das QED wird nur noch gelegentlich bei sehr langen Beweisen verwendet.
n=n+1 ergibt aber keinen Sinn, denn diese Gleichung ist in N nie erfüllt. Auch bei "Es soll für n→n+1 gelten" ist nicht klar, was du sagen will. Es soll ja nichts gelten, du möchtest ja viel eher zeigen, dass es gilt.