Zeigen Sie, dass 7^{2n} + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass 7^{2n} + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.

Ansatz:

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind.

Muss ich jetzt einfach 7^{2n}+15 rechnen und n=1, n=n+1 rechnen? Wie mache ich das?

Comments

Hallo,

[Da die Aufgabe falsch wiedergegeben wurde, ist diese Antwort jetzt sinnlos.]

72n+15 ist für n=1 ja schon nicht durch 8 teilbar.

72•1+15=87

72n+15 ist für alle n∈ℕ ungerade und damit nicht durch 8 teilbar.

:-)

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Würde das als Beweis schon reichen? Oder soll ich das mit Induktion beweisen?

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Ob das reicht, weiß ich nicht. Ich wurde den Term noch etwas umformen.

72n+15 = 72n + 16 - 1 = 8•(9n+2) - 1

:-)

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Oder soll ich das mit Induktion beweisen?

Möglicherweise lautet die Aufgabe ja herauszufinden, welche Teile eines Induktionsbeweises hier funktionieren und welche nicht und welche Schlussfolgerung sich darus ergibt.

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Möglicherweise lautet die Aufgabe ja herauszufinden

Die Aufgabe lautet nur:
“Zeigen Sie, dass 72n + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.”
Gibt 3 Punkte dadrauf, daher war ich mir unsicher, ob es so einfach reicht wie es oben steht

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Eigentlich müsste die Aufgabe so lauten:

Zeigen Sie, dass 72n + 15 für alle n ∈ N nicht durch 8 teilbar ist.

Berechnung mit Excel ergibt:

Answer 1

Ich vermute, dass die Aufgabe heißt:

Zeigen Sie, dass 7²ⁿ + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.

Dann wäre zu zeigen 49ⁿ + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.

Oder 49ⁿ≡-15 mod 8.

Das kann man so beweisen:

49≡1 mod 8

49ⁿ≡1 mod 8

0≡ - 16 mod 8

Addieren

49ⁿ≡ - 15 mod 8

Comments

Okay, wegen zum Beispiel $$ 7^{2n} + 15 = \left(49\right)^{n} + 16 - 1 \equiv 1+0-1 = 0 \mod 8$$ für alle \(n \in \mathbb{N}\) ist die Aussage also richtig.

Zum Induktionsbeweis: Es gilt $$7^{2(n+1)}+15=7^{2n}\cdot 7^2+15=7^{2n}\cdot 49+15\equiv 7^{2n}+15$$ und das ist nach IV richtig.

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Hallo Roland:

Da sieht man wieder einmal, wie wichtig korrekte Schreibweise und Textsatz bei mathematischen Ausdrücken ist !

Nebenfrage: wie bist du auf eine korrekte Interpretation der Aufgabenstellung gekommen ?

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Ob meine Interpretation der Aufgabenstellung korrekt ist, darf nicht als sicher gelten. Auch der Kommentar von Moliets nennt eine mögliche Interpretation.

Auf meine Interpretation der Aufgabenstellung bin ich gekommen, weil recht viele Fragesteller dazu neigen, Exponenten nicht richtig zu notieren.

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Mein Fehler. Es ist natürlich wie Roland geschrieben hat. Die Aufgabe ist Zeigen Sie, dass 72²ⁿ + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.

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Die Aufgabe ist Zeigen Sie, dass 72²ⁿ + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.

Auch dieses stimmt nicht. Da ist eine 2 zu viel.

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DreiKleineJules widerspricht sich, wenn er einerseits meine Vermutung bestätigt und andererseits behauptet, die Aufgabe laute:

Zeigen Sie, dass 72²ⁿ + 15 für alle n ∈ N durch 8 teilbar ist.

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Ich hab’s heute nicht mit dem Aufgaben richtig lesen.

7²ⁿ+15

Answer 2

Induktionsanfang: n = 0

7^(2·0) + 15 = 16 ist durch 8 teilbar

Induktionsschritt: n → n + 1

7^(2·(n + 1)) + 15 ist durch 8 teilbar
7^(2·n + 2) + 15 ist durch 8 teilbar
49·7^(2·n) + 15 ist durch 8 teilbar
48·7^(2·n) + 7^(2·n) + 15 ist durch 8 teilbar

48·7^(2·n) ist durch 8 teilbar, weil 48 den Faktor 8 enthält.
7^(2·n) + 15 ist wegen der Induktionsvoraussetzung durch 8 teilbar.

Answer 3

Aufgrund der binomischen Formel gibt es für jedes \(n\) eine natürliche Zahl \(c_n\) mit

$$7^{2n } + 15 = (8-1)^{2n} + 15 = 8\cdot c_n + (-1)^{2n}+15 = 8\cdot (c_n + 2)$$

Also ist \(7^{2n } + 15\) durch 8 teilbar.