Beweisen, dass 7^2n - 2^n durch 47 teilbar ist

Question

ich soll für alle n ∈ ℕ beweisen, dass  7²ⁿ - 2ⁿ durch 47 teilbar ist. (mit vollständiger Induktion)

Soweit bin ich schon selbst gekommen.

Induktionsanfang: Für  n = 1  ist  7^2·1 - 2¹ = 47 (und das ist ja offensichtlich durch 47 teilbar)

Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für alle  n > 0 .

Induktionsschritt:  Zu zeigen ist, dass die Aussage für  n + 1  gilt.

So und jetzt weiß ich, dass ich für n n+1 einsetzen muss aber ich bekomme es irgendwie nicht so richtig umgeformt.

Ich hoffe es kann mir jemand helfen und schon mal danke im voraus.

Answer 1

Hallo Ottilo,

Du hast bereits den richtigen Ansatz gewählt. Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass \(7^{2(n+1)}-2^{n+1}=7^{2n+2}-2^{n+1}\) ohne Rest durch \(47\) teilbar ist. Forme wie folgt um:

\(7^{2n+2}-2^{n+1}\) (Potenzgesetz \(a^{m+n}=a^m\cdot a^n\))

\(7^{2n}\cdot 7^2-2^n\cdot 2\) 

\(7^{2n}\cdot 49-2^n\cdot 2\) (Addiere \(0\) in Form von \(-2\cdot 7^{2n}+2\cdot 7^{2n}\))

\(7^{2n}\cdot 49-2\cdot 7^{2n}+2\cdot 7^{2n}-2^n\cdot 2\) (Klammere 2 aus)

\(7^{2n}\cdot 47+2\cdot (7^{2n}-2^n)\)

\(7^{2n}\cdot 47\) ist wegen des Faktors \(47\) durch \(47\) teilbar und \(7^{2n}-2^n\) ist nach Induktionsvoraussetzung durch \(47\) teilbar.

Ich hoffe, dass Dir das weiterhilft! Melde Dich gerne, wenn etwas unklar sein sollte.

Gruß
André

Comments

Hey wie kommst du denn auf diesen Part? Kann ihn nicht so wirklich nachvollziehen.

\(7^{2n}\cdot 47+2\cdot (7^{2n}-2^n)\)

Answer 2

f_n := 49ⁿ - 2ⁿ.
Induktionsschritt:
f_n+1 = 49ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ = 49·49ⁿ - 2·2ⁿ
        = (47·49ⁿ) + 2·(49ⁿ - 2ⁿ).
Der linke Summand ist offensichtlich durch 47 teilbar. Der rechte Summand ist nach Induktionsvoraussetzung durch 47 teilbar. Also ist auch deren Summe und damit f_n+1 durch 47 teilbar.

Answer 3

Der neue Term beim Ersetzen von n durch n+1 lautet dann (nach Anwendung von Potenzgesetzen)

$$49\cdot 7^{2n} - 2\cdot 2^{n}$$.

Verglichen mit dem Ausgangsterm $$7^{2n} - 2^{n}$$ ist das

$$7^{2n} - 2^{n}+(48\cdot7^{2n} - 2^{n})$$.

Du müsstest nun zeigen, dass der hintere Summand $$(48\cdot 7^{2n} - 2^{n})$$ ebenfalls durch 47 teilbar ist..

Comments

okay vielen Dank

wie kommst du auf 7^2n−2^n+(48⋅7^2n−2^n) ? den schritt habe ich noch nicht ganz verstanden

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49 a = a + 48 a

und

-2b = -b -b