Beweisen Sie fur alle n ∈ N, dass n^21 − n^19 − n^3 + n durch 114 teilbar ist

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie für alle n ∈ N, dass n^21 − n^19 − n^3 + n durch 114 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe an Induktion gedacht, aber kam leider nicht weiter.

Answer 1

Kleiner Tipp

114 = 19·3·2

114 | n^21 - n^19 - n^3 + n
114 | n^18·(n^3 - n) - (n^3 - n)
114 | (n^18 - 1)·(n^3 - n)
114 | (n^18 - 1)·n·(n - 1)·(n + 1)

Jetzt ist die Sache sicher für dich machbar oder?

Comments

Ja super, dankeschön

Answer 2

Ein Induktionsbeweis wäre wohl schon möglich, aber wegen der hohen Exponenten sehr, sehr umständlich und mühsam.

Man kann das Polynom aber schön faktorisieren:

n²¹ − n¹⁹ − n³ + n = n · (n² - 1) · (n¹⁸ - 1)

(Zuerst mal etwa k:= n² setzen, um auf diese Faktorisierung zu kommen !)

Nach dem kleinen Satz von Fermat ist  der dritte Faktor  n¹⁸ - 1  durch 19 teilbar.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiner_fermatscher_Satz

Weil  114 = 2 · 57 = 2 · 3 · 19 ,

ist dies wohl schon mehr als die halbe Miete - weshalb ich dir den Rest des Nachweises gerne überlasse !

Comments

Ok, dankeschön

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Hallo,

ich habe das gleiche Problem. Ich habe verstanden wieso bei n n^1⁸ -1 der kleine Satz von Fermat gilt, also 19 teilt dieses Polynom. Außerdem habe ich gesehen, dass n² - 1 nach dem kl. Satz von Fermat von 3 geteilt wird. Dann bleibt ja quasi nur noch zu zeigen, dass 2 n teilt, aber das gilt ja nur für gerade n?

Wo liegt mein Denkfehler? :)

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n*(n^2-1) = (n-1)*n*(n+1) ist immer durch 2 und durch 3, also immer durch 2*3=6, teilbar.

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Achso! Oh man da hab ich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen.. vielen Dank!!