Vollständige Induktion 23 teilt 5^2n-2n

Question

Aufgabe: Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass gilt: 23 teilt 5²ⁿ-2n

Problem/Ansatz:

IA: wähle n=0, 23 teilt 5^2•0-2•0↔23 teilt 1-1=0, wahre Aussage

IV: 23 teilt 5 ²ⁿ-2n

IB: 23 teilt 5 ²⁽ⁿ⁺¹⁾-2(n+1)

Beweis: 23 teilt 5²•5²ⁿ-2n-2↔25•5²ⁿ-2n-2

....leider komme ich hier nicht weiter. Tausend lieben Sonntagsdank für jede Hilfe

Comments

Sollte es 5²ⁿ - 2ⁿ heißen?

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Ich habe die Aufgabe vermutlich so falsch abgeschrieben... oh je, danke nochmal

Answer 1

Da dein Ausdruck z.B. für n = 3 nicht durch 23 teilbar ist, hast du den Ausdruck wohl verkehrt abgeschrieben. Möglich wäre:

Vollständige Induktion: 5^(2·n) - 2^n ist durch 23 teilbar

Induktionsanfang: n = 0

5^(2·0) - 2^0 ist durch 23 teilbar
1 - 1 ist durch 23 teilbar
0 ist durch 23 teilbar
Wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

5^(2·(n + 1)) - 2^(n + 1) ist durch 23 teilbar
5^(2·n + 2) - 2·2^n ist durch 23 teilbar
25·5^(2·n + 2) - 2·2^n ist durch 23 teilbar
23·5^(2·n + 2) + 2·5^(2·n + 2) - 2·2^n ist durch 23 teilbar
23·5^(2·n + 2) + 2·(5^(2·n + 2) - 2^n) ist durch 23 teilbar
Wahr, da beide Summanden durch 23 teilbar sind

Comments

Ich habe die Antwort geändert nach dem ich festgestellt habe, dass der ursprüngliche Term allgemein nicht durch 23 teilbar ist.

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Ganz vielen lieben Dank nochmal für alles - das hat mir den Sonntag doch noch gerettet