Vollständige Induktion Summenformel n>=3

Question

Aufgabe:

Vollständiger Induktion: Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen n, n≥ 3, die folgende Summenformel gilt:

\( \frac{1}{9*13} \) +…+\( \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} \) = \( \frac{n-2}{9(4n+1)} \)

Ansatz:

Induktionsanfang: n=3

\( \frac{1}{(4*3-3)(4*3+1)} \) = \( \frac{3-2}{9(4*3+1)} \)

\( \frac{1}{9*13} \) = \( \frac{1}{9*13} \)

Induktionsvoraussetzung: Für alle n ∈ Ν gilt:

\( \frac{1}{9*13} \) +…+\( \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} \) = \( \frac{n-2}{9(4n+1)} \)

Induktionsschluss: Für n+1 gilt:

\( \frac{1}{(4*(n+1)-3)(4*(n+1)+1)} \) = \( \frac{n*(n+1)-2}{9*(4*(n+1)+1)} \) Stimmt das ?

und wie geht es dann weiter ?

Vielen Dank

Answer 1

Induktionsvoraussetzung: Für alle n ∈ Ν gilt:
\( \frac{1}{9*13} \) +…+\( \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} \) = \( \frac{n-2}{9(4n+1)} \)

Bevor du das zur Induktionsvoraussetzung machst, musst du erst ein mal beweisen, dass diese Aussage gilt.

Verwende stattdessen als Induktionsvoraussetzung: Sei \(n\in\mathbb{N}\), so dass

    \( \frac{1}{9*13} \) +…+\( \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} \) = \( \frac{n-2}{9(4n+1)} \).

Dass es ein solches \(n\in\mathbb{N}\) gibt, hast du nämlich schon im Induktionsanfang gezeigt.

Induktionsschluss: Zeige dass

    \( \frac{1}{9*13} \) +…+\( \frac{1}{(4(n+1)-3)(4(n+1)+1)} \) = \( \frac{(n+1)-2}{9(4(n+1)+1)} \).

gilt.

Comments

Also den Induktionsschluss als Induktionsvoraussetzung nutzen ?

Weiter gerecht sieht das dann so aus ?

\( \frac{1}{(4(n+4)-3)(4(n+4)+1)} \) = \( \frac{(n+4)-2}{9(4(n+4)-1)} \)

---

Zeige dass

        \( \frac{1}{9*13} \) +…+\( \frac{1}{(4(n+1)-3)(4(n+1)+1)} \) = \( \frac{(n+1)-2}{9(4(n+1)+1)} \).

Linke Seite:

\(\begin{aligned} & \frac{1}{9\cdot13}+\ldots+\frac{1}{(4(n+1)-3)(4(n+1)+1)}\\ = & \left(\frac{1}{9\cdot13}+\ldots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}\right)+\frac{1}{(4(n+1)-3)(4(n+1)+1)}\\ \stackrel{\text{IV}}{=} & \frac{n-2}{9(4n+1)}+\frac{1}{(4(n+1)-3)(4(n+1)+1)}\\ = & \dots \end{aligned}\)

Und jetzt weiter vereinfachen.

Rechte Seite:

Den Term \( \frac{(n+1)-2}{9(4(n+1)+1)} \) vereinfachen.