Vollständige Induktion 8^n - 3^n ist ein vielfaches von 5

Question

Guten Tag liebe Community,

ich bin leider in Mathematik komplett eingerostet und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Also die Behauptung bei der Aufgabe ist -> 8^n - 3^n ist ein vielfaches von 5

Ich komme leider beim Beweis nicht weiter, da mir das Verständnis wohl einfach fehlt

Mein erster Schritt wäre nun die 1 einzusetzen und die Behauptung zu testen

A(1) = 8^1 - 3^1 = 5^1 = 1 * 5

soweit so gut, aber nun komm ich leider nicht weiter, der nächste Schritt wäre ja von A(n) -> A(n+1) zu kommen.

A(n+1) : 8^n+1 - 3^n+1 -> 8*8^n - 3*3^n

aber was nun, wie kann ich weiter machen..

Answer 1

8ⁿ⁺¹ - 3ⁿ⁺¹ = 8*8^n - 3*3^n = (5+3)*8^n - 3*3^n

= (5*8^n + 3*8^n  - 3*3^n =  (5*8^n + 3*(8^n  - 3^n)

Der erste Summand hat den Faktor 5, also Vielfaches von 5

und bei dem 2. ist die Klammer laut Ind. vor.

ein Vielfaches von 5, also die ganze Summe auch.  q.e.d.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Answer 2

Verwende 8·8ⁿ=(5+3)·8^n.

Answer 3

Schreibe 8ⁿ⁺¹ als 8*8ⁿ = 5*8ⁿ + 3*8ⁿ und 3ⁿ⁺¹ als 3*3ⁿ .

Dann hast du  5*8n + 3(8ⁿ -3ⁿ) .

Ein Teil davon steckt in der Ind.-V.