Hallo, man soll eine Aussage mit Induktion beweisen:
$$ \forall n\in \mathbb{N}: 8 \text{teilt} 3^{2n} + 7 $$
Induktionsannahme ist einfach und überfliege ich, weiter gehts mit dem Induktionsschritt n - 1 für n:
$$ 3^{2n}+7 = 3^{2(n-1)+2}+7 = 9*3^{2(n-1)}+7 = 8 * 3^{2*(n-1)}+3^{2*(n-1)}+7=\newline8*3^{2*(n-1)}+k*8= (3^{2*(n-1)}+k)*8$$
Also ist \( 3^{2n} \)+7 ein Vielfaches von 8.
$$ \text{Gem. Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung somit } \forall n \geq 0 $$
Meine Fragen:
$$ 1. \text{Warum heißt es } 3^{2(n-1)+2} +7 \text{ und nicht } 3^{2(n-1)}+7 ? \newline \text{Woher kommt die + 2 im Exponenten, wenn man doch nur n - 1 einsetzt?} $$
$$ 2.\text{Wie kommt man von} 9*3^{2(n-1)}+7 \text{ auf } 8 * 3^{2*(n-1)}+3^{2*(n-1)}+7 ? \newline \text{Warum steht da eine 8 und noch eine 3 ?} $$
$$ 3.\text{Warum wird } 3^{2*(n-1)}+7 \text{ durch } k*8 \text{ ersetzt?} $$
Wer mir diese drei Fragen beantwortet, dem bin ich sehr dankbar, danke im Voraus.