Vollständige Induktion 8 teilt 32n + 7

Question

Hallo, man soll eine Aussage mit Induktion beweisen:
$$\forall n\in \mathbb{N}: 8 \text{teilt} 3^{2n} + 7$$
Induktionsannahme ist einfach und überfliege ich, weiter gehts mit dem Induktionsschritt n - 1 für n:
$$3^{2n}+7 = 3^{2(n-1)+2}+7 = 9*3^{2(n-1)}+7 = 8 * 3^{2*(n-1)}+3^{2*(n-1)}+7=\newline8*3^{2*(n-1)}+k*8= (3^{2*(n-1)}+k)*8$$

Also ist $3^{2n}$+7 ein Vielfaches von 8.
$$\text{Gem. Prinzip der vollständigen Induktion gilt die Behauptung somit } \forall n \geq 0$$
Meine Fragen:
$$1. \text{Warum heißt es } 3^{2(n-1)+2} +7 \text{ und nicht } 3^{2(n-1)}+7 ? \newline \text{Woher kommt die + 2 im Exponenten, wenn man doch nur n - 1 einsetzt?}$$
$$2.\text{Wie kommt man von} 9*3^{2(n-1)}+7 \text{ auf } 8 * 3^{2*(n-1)}+3^{2*(n-1)}+7 ? \newline \text{Warum steht da eine 8 und noch eine 3 ?}$$
$$3.\text{Warum wird } 3^{2*(n-1)}+7 \text{ durch } k*8 \text{ ersetzt?}$$
Wer mir diese drei Fragen beantwortet, dem bin ich sehr dankbar, danke im Voraus.

Comments

Ohne Induktion:

3²ⁿ-1

=(3ⁿ -1)(3ⁿ +1)

Beide Faktoren sind gerade. Von zwei benachbarten geraden Zahlen ist eine immer durch 4 teilbar.

2r•4s=8rs

:-)

Answer 1

1. Der Exponent wird zerlegt:

$$2n = 2(n-1+1) = 2(n-1) + 2$$

2. $9 = 8+1 \Rightarrow 9a = (8+1)a = 8a+a$

3. Das ist die Induktionsvoraussetzung, dass $3^{2(n-1)}+7$ durch 8 teilbar ist.

Comments

Wow, danke !

Answer 2

Hallo

3.. die Induktionsvors lautet 3^2(n-1)+7=k*8  (also durch 8 teilbar)

2.  3²=9=8+1:   3^2(n-1)+2 +7=3²*3^2(n-1)+7=(8+1)*3^2(n-1)+7=8*3^2(n-1)+1*3^2(n-1)+7

wenn man aus 2*(n-1)=2n-2    2n machen will muss man 2 addieren (oder wenn man nur gerade Zahlen haben will muss man immer 2  zu geraden addieren)

Gruß lul