Vollständige Induktion: Summenformel für Potenzen von 2 zeigen

Question

Aufgabe:

Zeige mit Hilfe von vollständiger Induktion:

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang, -annahme und -behauptung dürften passen. beim Induktionsschritt komme ich nicht mehr weiter:

 

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{k=0}^{n+1}2^k=2^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n}2^k\,\stackrel{I.V.}{=}\,2^{n+1}+2^{n+1}-1=2\cdot2^{n+1}-1=2^{n+2}-1=2^{(n+1)+1}-1$$

Comments

Danke. Kannst du mir noch erklären, wie ich auf  und  komme. Ist wahrscheinlich nur eine mathematische Regel?

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Ein Apfel plus ein Apfel = zwei Äpfel.

In der Rolle des Apfels debütiert heute der Term 2ⁿ⁺¹.

Warum  2·2ⁿ⁺¹ gleich 2ⁿ⁺² sein sollte?

Darüber denke mal intensiv beim Studium der Potenzgesetze nach.

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Ach ja klar. Ich darf ja nicht 2*2 rechnen denn 2*2= soviel wie 2². 

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Lol, das Emoticon ist cool... \o/

Answer 2

Rechne einfach weiter:

\( 2^{n+1}-1+2^{n+1} = 2*2^{n+1}-1 = 2^{n+2}-1 \)

Answer 3

Addiere auf beiden Seiten der Formel 7) den Term 2ⁿ⁺¹

Answer 4

Tipp: Beweise allgemein die Summenformeln für Partialsummen von geometrischen Reihen.

Dann ist die vorliegende Summenformel nur noch ein Zahlenbeispiel davon.