Vollständige Induktion: Summenformel für geometrische Reihe zeigen: q^1 + q^2 +...+ q^n = (q^(n+1) - q)/(q-1)

Question

^{Wie schreib ich hier die vollständige Induktion auf?}

^{q^1 + q^2 +...+ q^n =\( \frac{q ^{n+1}– q}{q–1} \)} 

^qεℝ\{1}

Comments

Vgl. https://www.mathelounge.de/227541/vollstandige-induktion-einer-konstanten-brauche-ansatz-c1

Answer 1

Zu zeigen:

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(q^n - 1)/(q - 1)

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (q^k) = q·(q^1 - 1)/(q - 1)
q = q·(q - 1)/(q - 1)
wahr

Induktionsschritt: n --> n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (q^k) = q·(q^{n + 1} - 1)/(q - 1)
∑ (k = 1 bis n) (q^k) + q^{n + 1} = q·(q^{n + 1} - 1)/(q - 1)
q·(q^n - 1)/(q - 1) + q^{n + 1} = q·(q^{n + 1} - 1)/(q - 1)
(q^n - 1)/(q - 1) + q^n = (q^{n + 1} - 1)/(q - 1)
(q^n - 1)/(q - 1) + (q^{n + 1} - q^n)/(q - 1) = (q^{n + 1} - 1)/(q - 1)
(q^n - 1 + q^{n + 1} - q^n)/(q - 1) = (q^{n + 1} - 1)/(q - 1)
(q^{n + 1} - 1)/(q - 1) = (q^{n + 1} - 1)/(q - 1)
wahr

Answer 2

n=1:    q^1 = ( q^2 - q  ) / ( q - 1 )  stimmt ( mit q-1 kürzen ! )

Wenn die Formel für n stimmt, dann ergibt sich bei der

Summe bis q^{n+1} = Summe bis q^n  +    q^{n+1}

Für Summe bis q^n   wird  ( q^{n+1} - q  ) / ( q - 1 )  eingesetzt,

das gibt    ( q^{n+1} - q  ) / ( q - 1 )    +     q^{n+1}

auf gleichen Nenner bringen

 =  ( q^{n+1} - q  ) / ( q - 1 )    +     q^{n+1} *(q-1) / (q-1)

und zu einem Bruch machen

= (   q^{n+1} - q     +     q^{n+1} *(q-1)  ) / (q-1)

= (   q^{n+1} - q     +     q^{n+2}   -  q^{n+1}  ) / (q-1)

= (    - q     +     q^{n+2}   ) / (q-1)

= (       q^{n+2}   -  q   ) / (q-1)

Das hätte die rechte Seite der Formel für n+1 auch ergeben.  q.e.d.