Vollständige Induktion geometrische Reihe Σ_{i=0}^{n} 2^{i}=2^{n+1}-1

Question

$$\sum _{ i=0 }^{ n }{ { 2 }^{ i }={ 2 }^{ n+1 }-1 } $$

Diese Aussage soll ich beweisen.
Induktionsanfang habe ich bereits.

Zu Zeigen: 

$$\sum_{i=0}^{n+1}{2}^{i} = 2^{n+2} - 1 $$

Ich habe mich da rangetraut und bin genau soweit gekommen:

$$\sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ { 2 }^{ i }} = \sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ { 2 }^{ i }}+(n+1)$$

$$=2^{(n+1)}-1+(n+1)$$

Ich komm an den Umformungen nicht weiter.. Hilfe wäre nett und toll hehe

Answer 1

\(\sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ { 2 }^{ i }} = 2^{n+1} + \sum _{ i=0 }^{ n }{ { 2 }^{ i }} = 2^{n+1} + (2^{n+1} - 1)\). Ich hoffe ab da kommst du alleine weiter.