Vollständige Induktion bei mehrdimensionalen Gleichungen

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion bei mehrdimensionalen Gleichungen

Frage: Kann man eine Gleichung, die aus mehrdimensionalen rekursiv definierten Größen besteht, mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen? Wenn ja, wie sieht der Induktionsanfang aus, d.h. welche Kombination der Indizes muss man bei den Vektoren / Matrizen verwenden, damit der Induktionsanfang korrekt durchgeführt wird?

Problem/Ansatz:

Behauptung: Die aus rekursiv definierten Matrizen gebildete Gleichung

Text erkannt:

\( \boldsymbol{C}_{i k}=\sum \limits_{h=1}^{k} \boldsymbol{L}_{h i} \sum \limits_{j=0}^{h-1} q_{N-j}\left(\boldsymbol{V}_{h j}^{T} \boldsymbol{V}_{k+1 j}+\boldsymbol{p}_{N-j} \boldsymbol{W}_{h j}^{T} \boldsymbol{W}_{k+1 j}\right)=\mathbf{0} \)

Text erkannt:

\( \boldsymbol{C}_{i k}=\sum \limits_{h=1}^{k} \boldsymbol{L}_{h i} \sum \limits_{j=0}^{h-1} q_{N-j}\left(\boldsymbol{V}_{h j}^{T} \boldsymbol{V}_{k+1 j}+\boldsymbol{p}_{N-j} \boldsymbol{W}_{h j}^{T} \boldsymbol{W}_{k+1 j}\right) \)

d.h.     verschwindet.

Text erkannt:

\( \boldsymbol{C}_{i k}=\sum \limits_{h=1}^{k} \boldsymbol{L}_{h i} \sum \limits_{j=0}^{h-1} q_{N-j}\left(\boldsymbol{V}_{h j}^{T} \boldsymbol{V}_{k+1 j}+\boldsymbol{p}_{N-j} \boldsymbol{W}_{h j}^{T} \boldsymbol{W}_{k+1 j}\right) \)

Reicht es, wenn man alle möglichen Kombinationen der Anfangswerte der Indizes einmal durchspielt, um einen korrekten Induktionsanfang zu bilden?

Vielen Dank auch für Literaturhinweise auf das Thema.

Answer 1

Es reicht wenn man einen Index durchspielt.

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort.

Meine Frage bezieht sich auf einen Teil eines umfangreichen Beweises der Optimalität eines neuen rekursiven Regelalgorithmus eines Mehrfachsystems, der von mir abgeleitet wurde.

Diesen Teil des Beweises habe ich mit Hilfe der vollständigen Induktion geführt. Vor einer Veröffentlichung möchte ich sicher sein, dass mir kein Fehler unterlaufen ist.

Bisher konnte ich keinen Mathematiker der EPFL (Lausanne, Schweiz) dazu bringen, den Beweis gegen Bezahlung zu prüfen (haben wohl andere Prioritäten).

Daher meine Zusatzfrage: Woher nehmen Sie die Sicherheit, dass Ihre Antwort korrekt ist? Gibt es in Lehrbüchern / Veröffentlichungen hierzu Beispiele?

---

Hallo Oswald,

ich wiederhole nochmals meine Bitte, eine Quelle (Lehrbuch, mathematische Literatur / Veröffentlichung....) zu nennen, aus der die Aussage hervorgeht, dass bei der Anwendung der vollständigen Induktion auf mehrdimensionale Gleichungen das Durchspielen je eines Index ausreicht für den Induktionsanfang.

Vielen Dank

Peter78

---

Beispiel. Es soll

        \(\forall n\in \mathbb{N}\, \forall{k}\in \mathbb{N}:\ {n\choose k} = {n-1\choose k-1} + {n-1 \choose k}\)

bewiesen werden.

Idee: Induktion über \(n\).

Induktionsanfang: Sei \(n = 1\). Dann muss

        \(\forall{k}\in \mathbb{N}:\ {1\choose k} = {1-1\choose k-1} + {1-1 \choose k}\)

bewiesen werden. Wie diese Aussage bewiesen wird, ist vollständig der Phantasie des Autors des Beweises überlassen. Eine Möglichkeit wäre vollständige Induktion über \(k\). Ich schließe aber nicht aus, dass es noch andere Möglichkeiten gibt.