Eigenschaften von Relationen R1 und R2

Question

Gegeben seien die Relationen R1, R2 ⊆ N+ × N+ mit
R1 := {(x, y) | ∃n ∈ N+ : x = n*y} und
R2 := {(x, y) | |x − y| ≤ 1)}.

Geben Sie für die Relationen ¨ R1, R2, R1 ∪ R2 und R1 ∩ R2 jeweils an, welche Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch) diese Relationen erfüllen

Ansatz:

R1: Reflexiv, symmetrisch (?)

R2: Antisymmetrisch (?)

Answer 1

R1: Reflexiv ✓  (wegen n=1 )

    symmetrisch (No !)   (8;4)∈R wegen 8=2*4 
                                    aber für ( 4;8) müsste es 4 = n*8 geben, klappt nicht.

    transitiv ✓  (a,b)∈R und (b,c)∈R

   ==> ∃n,m  a=n*b und b=m*c

                ==>  a=n*m*c mit n*m ∈ ℕ+  , also OK

  Antisymmetrisch (?)   (a,b)∈R und (b,a)∈R

==>    ∃n,m a=n*b und b=m*a

  ==>  a=n*m*a Wegen n*m ∈ ℕ+ , also n=m=1 ,

                  also a=b .  Somit antisymmetrisch ✓