Beweis einer Summe mit x>0 und n in N

Question

ich brauche Eure Hilfe.

Zu beweisen ist: für x>0 und alle n∈ ℕ₀.

\( \sum\limits_{i=-n}^{n}{x^i} \)≥ 2n+1

Ich beginne mit n=0,1,2...

\( \sum\limits_{i=-n}^{n}{x^l} \) = 1+ \( \frac{1}{x} \) + \( \frac{1}{x^2} \) + ...+ \( \frac{1}{x^n} \)  ≥ 2n+1

Ich brauche bitte weiter Hilfe. Wie rechne ich nun?

Für Eure Hilfe danke ich im Voraus.

Answer 1

Du hast da einen Schreibfehler. Dein kleines L müsste ein i sein.

Dann hast du etwas missverstanden. Für (z.B.) n=2 lautet die Summe

$$\frac{1}{x²}+\frac{1}{x}+1+x+x²$$.

PS: Auch wenn ich damit schon fast die Lösung verrate:

Ist dir bekannt, dass für jede beliebige positive Zahl a die Ungleichung $$a+\frac{1}{a}\ge 2$$ gilt?

Comments

Hallo Gast 62,

ich danke Dir für Deine Hilfe.

Dass das gilt, habe ich leider nicht gewusst.

\( \frac{1}{x^n} \) + \( \frac{1}{x^{n-1}} \) +...+  \( \frac{1}{x^2} \)+ \( \frac{1}{x} \)  +1 +x +x² +...+ xⁿ   ≥ 2n +1

Nach der Formel x + \( \frac{1}{x} \) ≥ 2 gilt:

 \( \frac{1}{x^n} \) + \( \frac{1}{x^{n-1}} \) +...+  \( \frac{1}{x^2} \)+ \( \frac{1}{x} \)  +x +x² +...+ xⁿ ≥ 2n, also 

\( \frac{1}{x^n} \) + \( \frac{1}{x^{n-1}} \) +...+  \( \frac{1}{x^2} \)+ \( \frac{1}{x} \)  +1 +x +x² +...+ xⁿ  ≥ 2n +1

Ist das jetzt damit schon gezeigt? :)

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Fast. Da euch offensichtlich die verwendete Ungleichung a+1/a>=2 nicht zur Verfügung steht, musst du sie herleiten.

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Danke.

Aus a + \( \frac{1}{a} \) ≥ 2 folgt

a² +1 ≥ 2a

(a-1)² ≥ 0

(a-1)² ist immer positiv. Richtig so?

Schönen Abend noch :)

Answer 2

Lösung per Induktion.

Induktionsanfang:

n=0 : passt

Induktionsschritt:

n--> n+1

Dann ergibt Summe(n+1)=S(n+1)

= x^{-n-1}+x^{n+1}+S(n)

>=x^{-n-1}+x^{n+1}+2n+1

und dass soll größer gleich

2(n+1)+1=2n+3 sein.

Es muss also begründet werden, weshalb

x^{-n-1}+x^{n+1}>=2 gilt.

Schreibe als 1/z +z >=2 |*z>0 , da x größer 0 Voraussetzung war

1+z^2>=2z

z^2-2z+1>=0

(z-1)^2>=0

Dies ist stets erfüllt.

Comments

Hallo Gast jc2144

Danke für Deine Antwort. Dein Beweis ist super einfach und vielen Dank dafür.

In der Aufgabenstellung stand nicht, dass wir es per vollst. Induktion beweisen sollen.

Wenn meine Rechnungen von oben richtig sind, würde ich gern einen anderen Weg nehmen.

Danke für deine Mühe, liebe Grüße und schönen Sonntag

Schueler