Ungleichung mithilfe des Binomischen Lehrsatzes beweisen

Question

Wisst ihr, wie man die Aufgaben b, c und d löst? Könnt ihr mir bitte helfen?

Aufgabe:

Für \( x \in \mathbb{R} \) betrachten wir.
$$ S_{n}(x)=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !}, \quad s_{n}(x)=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} $$
Es sei \( k \in \mathbb{N} \) mit \( 0 \leq k \leq n \) und
$$ c_{n}^{k}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots \cdot\left(1-\frac{k-1}{n}\right) $$
(a) Zeigen Sie lim \( c_{n}^{k}=1 . \) Verwenden Sie dazu zum Beispiel die Bernoulli'sche Ungleichung.

(b) Zeigen Sie

$$ \left|S_{n}(x)-s_{n}(x)\right| \leq \sum \limits_{k=2}^{n}\left(1-c_{n}^{k}\right) \frac{|x|^{k}}{k !} $$
Verwenden Sie dazu zum Beispiel den Binomischen Lehrsatz.

(c) Zeigen Sie, dass es zu jedem \( \epsilon>0 \) ein \( m \in \mathbb{N} \) gibt, so dass für alle \( n \geq m \) gilt:
$$ \left|S_{n}(x)-s_{n}(x)\right| \leq \sum \limits_{k=2}^{m}\left(1-c_{n}^{k}\right) \frac{|x|^{k}}{k !}+\epsilon $$

(d) Zeigen Sie dass es ein \( n_{0} \in \mathbb{N} \) gibt, so dass
$$ \left|S_{n}(x)-s_{n}(x)\right| \leq 2 \epsilon $$
für alle \( n \geq n_{0} \)

Comments

Könnt ihr mir bei Aufgabe b helfen?

Answer 1

Hi,

$$  s_n(x) = \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( \frac{x}{n} \right)^k $$ Damit folgt

$$ S_n(x) - s_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \left(  1 - \frac{n!}{ n^k (n-k)!} \right) $$ und weil $$ c_n^k = \frac{n!}{ n^k (n-k)!} $$ gilt, folgt

$$ S_n(x) - s_n(x) = \sum_{k=2}^n \frac{x^k}{k!} \left( 1 - c_n^k \right)  $$ wegen  \( c_0^k = c_1^k = 1 \) und mit der Dreiecksungleichung folgt Aussage (b).

Anmerkung:

$$  \frac{n!}{ n^k (n-k)!} = \frac{ (n-k+1) \cdots (n-1) n }{n \cdots n} = \left(1-\frac{k-1}{n} \right) \cdots \left(1 - \frac{1}{n}   \right) $$

Comments

Vielen Dank! Weißt du auch, wie (d) geht?

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Oder mir einen Tipp geben? Ich glaube Aufgabe (d) hat etwas mit dem Cauchy-Kriterium zu... aber so ganz habe ich es noch nicht geschafft

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Ich versuchs mal. Ausgangssituation ist

$$ | S_n(x) - s_n(x) | \le \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} + \epsilon $$ und jetzt soll für den Ausdruck \( \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} \le \epsilon \) gelten, wenn \( n \in \mathbb{N} \) groß genug ist.

Den Ausdruck \( 1 - c_n^k \) kann man schreiben als

$$  1 - c_n^k = 1 - \prod_{i=1}^{k-1} \left(1 - \frac{i}{n} \right) $$ Die verallgemeinerte Bernoullische Ungleichung besagt

$$ \prod_{i=1}^{k-1} \left(1 - \frac{i}{n} \right)  \ge 1 - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{i}{n} = 1 - \frac{1}{n} \frac{ k (k-1)}{2} $$ also folgt

$$ \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} \le \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{m} \frac{ k (k-1)}{2} \frac{ |x|^k}{k!} $$ und der Ausdruck auf der rechten Seite ist beliebig klein für festes \( x \), falls \( n \in \mathbb{N} \) groß genug.

Also gilt $$ \sum_{k=2}^m (1-c_n^k) \frac{ |x|^k}{k!} \le \epsilon $$

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Wow!!! Vielen Dank, habe es jetzt endlich verstanden :)