Komplexe Zahlen, Real-Imaginärteil berechnen und Lösungsmenge von Gleichungen

Question

a) Berechnen Sie Real- und Imaginärteil:

(i) \( \quad z=\frac{1+i}{2+3 i} \)

(ii) \( \quad z=\frac{1}{1+5 i}+\frac{1}{1+i} \)

(iii) \( \quad z=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right]^{4} \)

(iv) \( \quad z=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right]^{79} \)

b) Berechnen Sie die Lösungsmenge\( L \subseteq \mathbb{C} \) der Gleichung\[\operatorname{Re}(i z)+i \operatorname{Re}(z)+\operatorname{Im}(i z)+i \operatorname{Im}(z)=\bar{z}+1\]

c) Berechnen Sie die Lösungsmenge \( L \subseteq \mathbb{C} \) der Gleichung\[2 z \operatorname{Re}(z)+2 \bar{z} \operatorname{Im}(z)=z^{2}+1\]Bemerkung: Wo Sie es für sinnvoll erachten, können Sie mit Polarkoordinaten rechnen oder mit Skizzen arbeiten. Alle Endergebnisse sollen jedoch ohne Verwendung von Exponential- und Winkelfunktionen dargestellt werden.

Problem/Ansatz:

Hatte es versucht es mit Polarkoordinaten zu berechnen, ging leider schief.

Answer 1

Hallo,

i)

Erweitere mit (2-3i) , den Zähler und Nenner

=   (2-3i+2i+3)/ (4+9)

=(5-i)/13

Re(z)= 5/13

Im(z)= (-1)/13

Aufgabe b) und für c) auch:

setze

z=x+iy , z(quer)= x-iy

Re(iz)+iRe(z)+Im(iz)+iIm(z)=  x-iy+1

-y +ix +x +iy= x-iy+1

usw.

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(iv) \( \quad z=\left[\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\right]^{79} \)

|z₁|= √ (1/2 +1/2) =1

tan(α)= Imaginärteil/Realteil = 1

α = π/4

z= 1 *e^(( i *Pi)/4) ^79 = e^( i *3555°) =e^( i315°)

z= cos(315°) +i sin(315°)

z=1/√2  - i/√2

Re(z)= 1/√2

Im(z)= (-1)/√2

Answer 2

a) (i) und (II) mit den konjugiert Komplexen des Nenners erweitern.

(iii) Quadrieren und nochmal quadrieren.

(IV) Damit sollte es gehen: (1 + î)²= 2·î,  (1 + î)³=-2 + 2·î,

(1 + î)⁴=-4, (1 + î)⁵=-4 - 4·î, (1 + î)⁶=- 8·î, (1 + î)⁷=8 - 8·î, (1 + î)⁸=16, (1 + î)⁹=16 + 16·î, (1 + î)¹⁰=32·î

Comments

und das einfach bis hoch 79 machen?

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Nein!!! 79=19·4+1

(1+i)⁴=-4 und (1+i)⁷⁹=(1+i)^4·19+3=(-4)¹⁹·(1+i)³=(-4)¹⁹·(-2 + 2·î)

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und was mach ich mit dem Faktor 1/wurzel(2) ?

Hättest du ebenfalls eine Idee für die b)?

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[1/√(2)]⁷⁹=1/2³⁹·1/√(2) oder gleich Taschenrechner.