Funktion auf Stetigkeit prüfen

Question

Aufgabe (Stetigkeit):

Die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) sei gegeben durch

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{x^{4}-1}{x^{2}-1}} & {\text { falls } x \neq 1, x \neq-1} \\ {2} & {\text { falls } x=1} \\ {5} & {\text { falls } x=-1} \end{array}\right. $$
untersuchen Sie \( f \) auf Stetigkeit.

Problem/Ansatz:

f(x) - f(x₀) = (x⁴-1) / (x²-1) - (x₀⁴-1) / (x₀²-1)

= x² + 1 - x₀² + 1

Ich weiß leider nicht, wie ich jetzt weiter vorgehen muss.

Answer 1

Aloha :)

Die erste Definitionsgleichung der Fuktion lautet \(\frac{x^4-1}{x^2-1}\), sie ist für \(x=\pm1\) nicht definiert. Stattdessen sind die Funktionswerte \(f(1)=2\) und \(f(-1)=5\) als Sonderfälle angegeben. Du musst nun prüfen, ob der Grenzwert der ersten Definitionsgleichung an den kritischen Stellen \(x=\pm1\) mit diesen Sonderfällen übereinstimmt.

$$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{x^4-1}{x^2-1}\right)=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}\right)=$$$$\phantom{\lim\limits_{x\to1}f(x)}=\lim\limits_{x\to1}\left(x^2+1\right)=2=f(1)\quad\checkmark$$Die Funktion ist stetig bei \(x=1\).

$$\lim\limits_{x\to-1}f(x)=\lim\limits_{x\to-1}\left(\frac{x^4-1}{x^2-1}\right)=\lim\limits_{x\to-1}\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2-1}\right)$$$$\phantom{\lim\limits_{x\to-1}f(x)}=\lim\limits_{x\to-1}\left(x^2+1\right)=2\ne5=f(-1)$$Die Funktion ist unstetig bei \(x=-1\).