Wertebereich einer Exponentialfunktion.

Question

Aufgabe:

f(x)= \( \frac{e^x}{e^x +2} \)

Problem/Ansatz:

Der Wertebereich ist (0,1). Ich verstehe aber nicht ganz, wie man darauf kommt. Ich habe die Funktion eingezeichnet und habe gesehen, dass der Wertebereich stimmt aber ich verstehe nicht, wie man drauf kommt.

Wenn man für x etwas sehr sehr Kleines einsetzt, dann ist es eingesetzt (bsp -1000), dann geht es gegen Null, weil 0/ 0+2=0, nähert sich nur der 0, trifft sie aber nicht. Aber ich verstehe nicht, wie man auf die 1 kommt.

Ist der Gedankengang richtig:

Wenn man für x unendlich einsetzt, ist es unendlich/ unendlich+2. Aber, dass im Nenner die +2 steht, heisst, dass wir nie über die 1 kommen, weil der Zähler immer kleiner als der Nenner ist.

Wie würde eine Exponentialfunktion aussehen, mit dem Wertebereich (0,3)?

Vielen dank

Answer 1

\( f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+2} \)  | Mit \(e^x\) kürzen

$$ f(x)=\frac{1}{1+\frac{2}{e^x}} $$

Für große Werte von \(x\) geht \(\frac{2}{e^x}\) gegen 0.

Deshalb geht \(f(x)\) für große \(x\)-Werte gegen 1.

https://www.desmos.com/calculator/bn77qni01h

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=\frac{e^x}{e^x+2}=\frac{e^x+2-2}{e^x+2}=1-\frac{2}{e^x+2}$$$$e^x>0\;\;\Leftrightarrow\;\;e^x+2>2\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{e^x+2}{2}>1\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{2}{e^x+2}<1$$$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{2}{e^x+2}\right)=0\;\;\Rightarrow\;\;0<\frac{2}{e^x+2}<1$$$$\Rightarrow\quad D(f)=(0;1)$$