Wie funktioniert der Beweis durch Induktion?

Question

Ich komme bei diesen Aufgaben nicht weiter und hoffe das ihr mir helfen könnt. Die ersten beiden Aufgaben habe ich hinbekommen und da nun die Zeit drängt brauche ich eure Hilfe.

Liebe Grüße

Sarah

c) 1 + 3 + ... + (2n - 1) = ∑ⁿ_k=1 (2k - 1) = n²   für alle n ∈ N

d) ∑ⁿ_i=1 8i = 4n² + 4n für alle n ∈ N

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Vom Duplikat:

Titel: Wie Funktioniert die vollständige Induktion?

Stichworte: vollständige-induktion,induktion

Ich konnte die Aufgaben a und b lösen, aber leider komme ich mit c und d nicht zurecht. Ich hoffe ihr könnt mir behilflich sein. Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Pia

Aufgabe:

c) ∑ⁿ_i=1 8i = 4n² + 4n für alle n ∈ N

d) 1 + 3 + ... + (2n - 1) = ∑ⁿ_k=1 (2k - 1) = n² für alle n ∈ N

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Vom Duplikat:

Titel: Wie nutze ich die Vollständige Induktion?

Stichworte: induktion,vollständige-induktion

Hallo Leute,

Ich konnte die Aufgaben a und b lösen, aber leider komme ich mit c und d nicht zurecht. Leider muss ich das schon bis morgen fertig haben und habe es seit paar Tagen nicht hinbekommen. Ich hoffe ihr könnt mir behilflich sein und mir die Lösung verraten. Vielen Dank im Voraus.

Liebe Grüße

Pia



Aufgabe:

c) ∑ⁿ_i=1 8i = 4n² + 4n für alle n ∈ N

d) 1 + 3 + ... + (2n - 1) = ∑ⁿ_k=1 (2k - 1) = n² für alle n ∈ N

Answer 1

Hallo

c) ist nicht lesbar

bei d musst du doch nur n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1)=(n+1)^2 im Induktionsschritt sehen

sieh dir deine post IMMER in der Vorschau genau an und korrigier sie VOR dem Abschicken

Gruß lul

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Wusste ich leider nicht, vielen dank für den sehr wichtigen Tipp. Ich habe es nochmal Hochgeladen, hoffe sie können mir weiterhelfen. Ansonsten vielen dank und noch einen schönen Abend.

Liebe Grüße

Pia

Answer 2

Zu zeigen:
1 + 3 + 5 + ... + (2·n - 1) = ∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) = n^2

Induktionsanfang n = 1
2·1 - 1 = 1^2 → wahr

Induktionsschritt n → n + 1
∑ (k = 1 bis n + 1) (2·k - 1) = (n + 1)^2
∑ (k = 1 bis n) (2·k - 1) + (2·(n + 1) - 1) = (n + 1)^2
n^2 + (2·(n + 1) - 1) = n^2 + 2·n + 1
n^2 + (2·n + 2 - 1) = n^2 + 2·n + 1
n^2 + 2·n + 1 = n^2 + 2·n + 1 → wahr

und

Zu zeigen:
∑ (k = 1 bis n) (8·k) = 4·n^2 + 4·n

Induktionsanfang: n = 1
8·1 = 4·1^2 + 4·1 → wahr

Induktionsschritt: n → n + 1
∑ (k = 1 bis n + 1) (8·k) = 4·(n + 1)^2 + 4·(n + 1)
∑ (k = 1 bis n) (8·k) + (8·(n + 1)) = 4·(n + 1)^2 + 4·(n + 1)
4·n^2 + 4·n + 8·n + 8 = 4·(n^2 + 2·n + 1) + 4·n + 4
4·n^2 + 12·n + 8 = 4·n^2 + 8·n + 4 + 4·n + 4
4·n^2 + 12·n + 8 = 4·n^2 + 12·n + 8 → wahr

Comments

Vielen Vielen Dank!

Answer 3

Folgendes beantwortet ja auch deine Frage

https://www.mathelounge.de/677426/wie-funktioniert-der-beweis-durch-induktion