Invertieren der Laplace-Funktion

Question

ich habe ein AWP gegeben und soll dieses via Laplace-Transformation lösen, leider scheitert die Rechnung bei der Rücktransformation, also der Invertierung.

Die Aufgabe:

x''+4x'+5x=2H₃(t), x(0)=0, x'(0)=1, (H die Heaviside-Funktion)

Mein Ansatz:

L[x](s)=(2^e-3s+s)\( \frac{1}{s(s²+4s+5} \)

Partialbruchzerlegung (aus Hinweis in der Aufgabenstellung):

L[x](s)=(2e-3s+s)(-\( \frac{1}{5} \)\( \frac{s+4}{(s+2)²+1} \) +\( \frac{1}{5s} \)

Jetzt müsste ich wohl "L^-1" anwenden, aber trotz der Hinweise, die noch in der Aufgabenstellung sind, komme ich hier nicht weiter.

Hinweise:

L[e^atx(t)](s) = F(s-a) ⇔ L^-1[F(s-a)](s)=e^atx(t)

L[H_c(t)x(t-c)](s)=e^-csF(s) ⇔ L^-1[e^-cs F(s)](s)=H_c(t)x(t-c)

x(t)	1	eat	cos(t)	sin(t)	Hc(t)
L[x](s)	1/s	1/(s-a)	s/(s²+1)	1/(s²+1)	e-cs/s

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Folgende Transformationen gibt es noch

$$  \frac{1}{(s-b)^2+a^2} \mapsto \frac{e^{bt} \sin(at)}{a}  $$

$$  \frac{s-b}{(s-b)^2+a^2} \mapsto e^{bt} \cos(at) $$ und berücksichtige das gilt

$$  \frac{s^2}{s^2 +4s +5} = \frac{3}{(s+2)^2+1} - \frac{4(s+2)}{(s+2)^2+1} + 1 $$

Die Laplace Transformation der Dgl. lautet nach Partialbruchzerlegung

$$   \frac{2}{5}\frac{e^{-3s}}{s} - \frac{4}{5}\frac{s}{s^2+4s+5} - \frac{8}{5}\frac{e^{-3s}}{s^2+4s+5} - \frac{1}{5}\frac{s^2}{s^2+4s+5} -\frac{2}{5}\frac{s e^{-3s} }{s^2+4s+5} +\frac{1}{5} $$

Dann noch an den Verschiebungssatz denken, dann sollte es klappen.