Zeigen und Bestimmen Untervektorraum des R^3

Question

Aufgabe:

1)Bildet die Menge U = {(a1 a2 a3) ∈ R³ :a1 + a2 = 0} einen Untervektorraum des R³?

2) Bildet die Menge U = {(⎛⎝a1a2a3⎞⎠⎟) ∈ R³ : a1 ≤ a2 ≤ a3} einen Untervektorraum des R³?

3) Bestimmen Sie einen Untervektorraum des (F2)^5.

4) Bestimmen Sie einen Untervektorraum des (F3)^3.

Problem/Ansatz:

Ich habe verstanden, dass ich zuerst zeigen muss, dass U nicht leer ist. Folgend die Abgeschlossenheit der Addition sowie des Skalarprodukts. In einem anderen Post wurde etwas ähnliches gefragt, jedoch wurde es nur schwammig erklärt, dieses hat mir nicht geholfen.

Ansatz:

für 1) U ist nicht leer da, (1 -1 0) ∈ U bzw. (1 -1 0) ∈ R³  oder (-1 1 0)∈ U bzw. (-1 1 0) ∈ R³. Ist das richtig?

für 2,3,4 habe ich überhaupt keinen Ansatz.

Besten Dank für weitere Hilfestellungen!

Answer 1

seien \(x, y ∈ U\) beliebig:
es gilt \(x_{1} + x_{2} = 0\) und \(y_{1} + y_{2} = 0\)

\(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} x_{1} + y_{1}\\x_{2} + y_{2}\\x_{3} + y_{3} \end{pmatrix}\)

\((x_{1} + x_{2}) + (y_{1} + y_{2}) = 0 + 0 = 0\)
\(→ x+y ∈ U\) 

seien \(x ∈ U\) und \(λ ∈ IR\) beliebig:
es gilt \(x_{1} + x_{2} = 0\)

\(λ * \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} λ*x_{1}\\λ*x_{2}\\λ*x_{3} \end{pmatrix}\)
\(λ * (x_{1} + x_{2}) = λ * 0 = 0\)
\(→ λ*x ∈ U\)

Ist doch nicht so schwer oder?
Funktioniert bei den anderen Teilaufgaben analog (verlag).

ruß Hetzerich