konvergenz beweisen oder widerlegen mit limn=1→∞ bn=0

Question

Abend Leute

Sei bn eine Folge mit \( \lim\limits_{n=1\to\infty} \)  b_n=0

 Beweisen oder widerlegen sie:
(a) Ist \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{an} \) eine konvergente Reihe, dann ist \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{anbn} \) konvergent

(b) \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{an} \) eine absolut konvergente Reihe, dann ist \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{anbn} \) konvergent

zu a---> meine Überlegung : ja es stimmt, denn betrachte die Folge an= \( \frac{1}{n^2} \) ist konvergent (Minoratenkriterium)

die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) auch konvergent. Betrachte nun die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} \) ist eine harmonsiche Reihe also divergent → insgesamt  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) *\( \frac{1}{n} \) konvergent ....

Ist die Idee richtig und auch richt angewendet ? Falls ich kleine Fehler gemacht habe, könntet ihr mir das bitte sagen

Zu b --->  nur Überlegung : ist auch konvergent wenn die Reihe an absolut konvergent ist.

habt ihr vllt ein Beispiel dazu finde ich nämlich nichts bzw  ja aber bin mir nicht sicher

!!

Answer 1

Hallo

a) ist falsch. ∑(-1)^n*1/√n konvergiert, bn=(-1)ⁿ⁺¹*1/√n konvergiert gegen 0

 aber ∑an*bn nicht,

du kannst etwas NIE mit einem Beispiel beweisen, das haeisst doch nur dass es ein an und bn gibt so dass für diese bestimmten die Beh, stimmt.

deine a_n=1/n^2 konvergiert ja absolut.

b) ist wahr, aber beweisen mit: bn<ε für n>N1(ε) und die Summe von N2 bis oo auch <ε

 musst du noch ausformulieren!

Gruß lul

Comments

Ich verstehe leider nicht was du bei b) meinst ?

Also dass mit n1 und n2 warum teilst du die auf sei reihe oder hab ich das falsch verstanden?

Meinst du das so

 Ι\( \sum\limits_{n=1}^{n1}{an} \)  \( \sum\limits_{n=1}^{n2}{bn} \) Ι <ε und dann damit weiter beweisen ?