Sachaufgabe Änderungsrate, maximale Konzentration

Question

Aufgabe:

Innerhalb einer Studie soll die Konzentration eines zu verabreichenden Medikaments im Blut untersucht werden. In der Zeitspanne zwischen der Verabreichung des Medikaments bis zum vollständigen Abbau des Medikaments wird die Wirkstoffkonzentration im Blut der Probanden (in mg/Liter) durch eine ganzrationale Funktion f beschrieben: f(t)= 0,015t^3 - 0,6t^2 + 6t [0,20]

a) Wann ist die Konzentration am höchsten und wie hoch ist die maximale Konzentration

b) Mittlere Änderungsrate der Konzentration in den ersten 6 Stunden

c) Wann nimmt die Konzentration am stärksten ab. Wie groß ist die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt?

d) Berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn die momentane Änderungsrate 1,92 mg/Liter pro Stunde beträgt

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand sagen was ich bei den Aufgaben machen muss? Die Lösungen habe ich

a) HP (5/3 | 17,78)

b) 2,94

c) t=40/3

d) t=4

Answer 1

Hallo,

a) Wann ist die Konzentration am höchsten und wie hoch ist die maximale Konzentration

Du berechnest den Extrempunkt der Funktion, die x-Koordinate bestimmt den Zeitpunkt (20/3) und die y-Koordinate beschreibt die Höhe der Konzentration.

b) Mittlere Änderungsrate der Konzentration in den ersten 6 Stunden

Du bestimmst die Steigung der Geraden zwischen den Punkten (0|0) und (6|f(6))

c) Wann nimmt die Konzentration am stärksten ab. Wie groß ist die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt?

Dazu berechnest du den Tiefpunkt der Ableitungsfunktion.

d) Berechnen Sie den Zeitpunkt, wenn die momentane Änderungsrate 1,92 mg/Liter pro Stunde beträgt

Hier setzt du die 1. Ableitung = 1,92 und löst nach x auf.

Gruß, Silvia

Comments

Aber z.B. bei a) habe ich für den Hochpunkt 6,67 raus stimmt das?

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Richtig, das ist die x-Koordinate = Zeitpunkt. Für die Höhe der Konzentration brauchst du noch die y-Koordinate des Punktes.

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Also 6,67 einsetzen in die Ausgangsfunktion? Dann hab ich 17,78

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Ja, das stimmt.

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Und wie mache ich das bei b)?

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Du hast zwei Punkte einer Geraden, (0|0) und (6|17,64)

Deren Steigung = m berechnest du mit den Koordinaten der Punkte:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

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Warum 17,64?

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Um die y-Koordinate eines Punktes zu bestimmen, setzt du den x-Wert in die Funktion ein:

$$0,015 \cdot 6^3-0,6\cdot 6^2+6\cdot=\\ 0,015\cdot 216 -0,6\cdot 36+36=\\ 3,24-21,6+36=17,64$$