Integralrechnung mit Summanden in der Wurzel. INT √(1-x^{2}-y^{2})dy

Question

Aufgabe:

Berechne das Volumen für eine Halbkugel mit dem Radius r=1, genauer gesagt das Volumen der Menge: K={x,y,z ∈ ℝ | x²+y²+z²<=1, z>=0}.

Formuliere zunächst die dritte Koordinate z als Funktion z=f(x,y).

Bestimme dann für z=0 die Grenzen von x, y, die aufgrund der Symmetrie gleich sein müssen.

Hinweis: Das Integral \( \int \sqrt{1-x²-y²} ~ dy\) kann mit Hilfe von Substitution gelöst werden. Setze dazu zunächst p:=√(1-x²) und y=pt.

Meine Frage bezieht sich nur auf einen Teil der Aufgabe. Vollständig soll nach x und y integriert werden, um das Volumen einer Halbkugel mit Radius r=1 auszurechnen.

Die Funktion f(x,y)=z habe ich als z=√(1-x²-y²) bestimmt und die Grenzen von x, y müssten ja -1 und 1 sein.
Also wäre das vollständige Integral: \( \int\limits_{-1}^{1} \) \( \int\limits_{-1}^{1} \) √(1-x²-y²)dxdy.

Das Integral \( \int \)√(1-x²-y²)dy soll mit Hilfe des folgenden Hinweises gelöst werden:

Substitution, setze p:=√(1-x²) und y=pt.

Leider weiß ich nicht, wie ich das umsetzen kann.

Answer 1

Das Integral ∫

√(1-x²-y²)dy kann mit Hilfe von Substitution gelöst werden. Setze dazu zunächst p:=√(1-x²) und y=pt.

gut. Dann hast du

dy/dt = p

Also dy = p*dt

INT √(p^2 - p^2 t^2) dy

= INT √(p^2 - p^2 t^2) p * dt

= INT  √ (1 - t^2) p^2 * dt

= p^2 INT  √ (1 - t^2)  dt         (Grundintegral)

usw.  Grenzen anpassen nicht vergessen.

Möglicher Hintergrund: Soll das p ein ρ (=rho) sein und sollst du Zylinderkoordinaten / Kugelkoordinaten benutzen lernen? 

Comments

Eine Frage hätte ich noch, wenn ich später wieder rücksubstituieren will:

Ist dann mein p=√(1-x^{2}) und t=y/p, also y/√(1-x^{2})?

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Das müsste eigentlich so sein. Rechne einfach ganz fertig und vergleiche mit den publizierten / bekannten Formeln. Falls da etwas anderes rauskommt als erwartet nochmals fragen. Ich würde eher die Grenzen den neuen Variabeln anpassen und dann gar keine Rücksubstitution machen.