Binomialkoeffizienten kürzen

Question

Aufgabe:

Hallo,

wie könnte ich folgenden Ausdruck kürzen: (n+k-1)!/((n-1)!*(k-1)!) ?

Vielen dank

Answer 1

Du kannst es anders schreiben, da gilt:

(n+k-1)! = (n+k)!/(n+k)

(n-1)! = n!/n

(k-1)! = k!/k

Aber kürzen kann man hier nicht.

Answer 2

Statt zu kürzen könnte man mit k! erweitern und einen Term mit einem Binomialkoeffizienten draus machen: $$\dfrac{\left(n+k-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot\left(k-1\right)!} \\[3em] = k!\cdot\dfrac{\left(n+k-1\right)!}{\left(n-1\right)!\cdot k!} \\[3em] = k!\cdot\dfrac{\left(n+k-1\right)!}{\left(\left(n+k-1\right)-k\right)!\cdot k!} \\[3em] = k!\cdot\begin{pmatrix} \left(n+k-1\right)!\\k! \end{pmatrix}.$$ Ob dies schöner oder einfacher aussieht, sei einmal dahingestellt. Auf jeden Fall wird klar, dass für konkrete natürliche Zahlen \(k\le n\) der ursprüngliche Term vollständig gekürzt werden kann, da der Term rechts eine natürliche Zahl ergibt.

Comments

Muss als Faktor nicht k statt k! in der 2. bis 4. Zeile stehen?