Warum ist die Gleichung (n! / (3! * (n - 3)) / (n! / (2! * (n - 2)) = (n-2) / 3 true?

Question

Aufgabe:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(n+choose+3)+%2F+(n+choose+2)+%3D+(n-2)+%2F+3

Oder ohne Wolfram:

(n! / (3! * (n - 3)) / (n! / (2! * (n - 2)) = (n-2) / 3

Ich verstehe nicht wie diese Vereinfachung/Umwandlung erfolgt.

Ich hoffe jemand kann es mir leicht verständlich erklären.

Vielen Dank im voraus!

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Löse doch erst mal den Doppelbruch auf, und dann kürze, was kürzbar ist.

n! fällt dabei beispielsweise schon mal weg.

$$\frac{2! }{3!}$$ wird auch wesentlich einfacher.

Answer 1

$$\frac{\binom{n}{3}}{\binom{n}{2}}=\frac{\frac{n(n-2)(n-1)}{6}}{\frac{n(n-1)}{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{n(n-1)}{n(n-1)}\cdot \frac{\frac{n-2}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{n-2}{6}}{\frac{1}{2}}\\ \Leftrightarrow \frac{n-2}{6\cdot \frac{1}{2}} \\ \Leftrightarrow \frac{\frac{n-2}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{n-2}{6}\cdot 2 \\ \Leftrightarrow \frac{2(n-2)}{6} = \frac{n-2}{3} $$

Answer 2

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Comments

Das find ich schon sehr gut und recht einfach geschrieben. Aber mir erschließt sich nicht ganz woher die 1/3 kommen :/

Könnten Sie das bitte noch erklären?

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Sorry nevermind, ich war behindert. Vielen Dank für diesen Lösungsweg!

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Statt dauernd neu zu fragen, solltest du mal die bereits geschriebenen Beiträge richtig  lesen.

Kürze (wie bereits empfohlen) den Bruch \(\frac{2!}{3!}\)

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Ja da haben Sie recht.

Sobald ich erneut gefragt hatte, hab ich nochmal draufgeschaut und es verstanden. Ich bin häufiger zu voreilig. Das muss ich echt mal ändern, haha...

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2! = 2*1 *0 !      =2   (0!=1)

3! =3 * 2*1 *0 !  =6